lietuvis9x (+49)
1.a²+b²+c²≥ab+bc+ca visiems realiems a,b,c
2.a/b+b/c+c/a≥3 visiems teigiamiems a,b,c
3.(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc visiems nenegiamiems a,b,c
Buciau dekingas jei nors ant kelio uzvestumete
Forumas
kaip spresti siuos 3 uzdavinius su nelygybemis
lietuvis9x (+49)
Mirtise (+3503)
1. pasidaugink abi puses iš 2, tada susitvarkai į vieną pusę ir ten išsiskiri pilnus kvadratus.
DEMO +1000
1.[tex](a-b)^{2}\geq0 \Rightarrow a^{2}+b^{2} \geq2ab\\b^{2}+c^{2}\geq2bc\\c^{2}+a^{2}\geq2ca[/tex]
Sudėję visas tris nelygybes ir padalinę iš dviejų gausim
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca [/tex]
2. Pagal aritmetinio-geometrinio vidurkio nelygybę
[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3[/tex]
3.Pagal pirmą uždavinį
[tex](a+b)\cdot(b+c)\cdot(c+a)\geq2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc}[/tex]
lietuvis9x (+49)
dekui
pakeista prieš 14 m
lietuvis9x (+49)
lukasm gal dar padetum su
4.Jeigu abc=1, tai (1+a)(1+b)(1+c)≥8, visiems neneigiamiems a,b,c
5.1/2²+1/3²+1/4²+.....+1/100²<0,99
Reikia prie 5 irodymo kaip
DEMO +1000
lietuvis9xlukasm gal dar padetum su
4.Jeigu abc=1, tai (1+a)(1+b)(1+c)≥8, visiems neneigiamiems a,b,c
5.1/2²+1/3²+1/4²+.....+1/100²<0,99
Reikia prie 5 irodymo kaip
4. Pagal praeitus pavyzdžius [tex](1+a)(1+b)(1+c)\geq 2\sqrt{a}\cdot 2\sqrt{b}\cdot 2\sqrt {c} = 8\sqrt{abc}=8[/tex].
5.[tex]\frac {1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}+...+\frac{1}{100^{2}}<\frac{1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot 100}=\frac{99}{100}=0,99[/tex].
Lygybę [tex]\frac{1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}[/tex] kiekvienam [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] galima įrodyti matematinės indukcijos būdu.
Kai [tex]n=1[/tex], lygybė akivaizdi [tex] (\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2})[/tex].
Sakykim, lygybė teisinga, kai [tex]n = k:\\\frac{1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}[/tex].
Įrodysim, kad ji teisinga ir su [tex]n=k+1[/tex]:
[tex]\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}=\frac{(k+1)^{2}}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^{2}+2k+1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}[/tex] [tex]=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}.[/tex]
Taigi, lygybė teisinga su visais [tex]n\in\mathbb{N}[/tex].
pakeista prieš 14 m
DEMO +1000
lietuvis9x, kam tau tokių uždavinių reikia, jei ne paslaptis? Šiaip man jie primena konkursinius uždavinius.
pakeista prieš 14 m
lietuvis9x (+49)
ruosiames apskrities konkursui.as beje negyvenu lietuvoje, esu isvykes ir ten siek tiek silpniau matematikos srityje mokina ;)
Puslapis1
Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »