Kamuoliuku tikimybės. Pora uzdaviniu mokyklai prisimint

Sveiki, niekur nesugebejau rasti butent tokio tipo uzdavinio su kamuoliukais. Mokyklos meto zinios greitai pasimirso :)

1. Dezeje yra 100 kamuoliuku. 99 raudoni ir vienas juodas. Vygdoma 5 traukimai po 10 kamuoliuku. Po kiekviėno traukimo kamuoliukai grazinami dezen. Kokia tikimybe, kad bus istrauktas juodas kamuoliukas po 5 traukimu?

2. Dezeje yra 100 kamuoliuku. 93 raudoni ir 7 juodi. Vygdoma 5 traukimai po 10 kamuoliuku. Po kiekviėno traukimo kamuoliukai grazinami dezen. Kokia tikimybe, kad bus istrauktas BENT VIENAS juodas kamuoliukas po 5 traukimu?


Man svarbiausia sprendimo budas ir pati sprendimo logika. Manau, kad antras uzdavinukas ganetinai sudetingas, o galbut tiesiog reikia tam tikros formules :)

Dekoju,
Domas

P.S. uzdaviniai ne akademinei aplinkai, o saves tobulinimui :)

1. Interpretuoju klausimą kaip: kokia tikimybė, kad bent kartą, per tuos penkis traukimus, bus ištrauktas juodas kamuoliukas?. Kitu atveju, jei klausimas būtų: kokia tikimybė, kad per penktąjį traukimą bus ištrauktas juodas kamuoliukas, būtų tokia pati, kaip ir tikimybė ištraukti juodąjį kamuoliuką per bet kurį kitą traukimą, kurią aš vis tiek apskaičiuos spręsdamas "savo susigalvotą" uždavinį. Jei suklydau, tai pataisyk.
Paprasčiau apskaičiuoti priešingą tikimybę, kad neištrauks nei vienojuodo kamuoliuko. O taip atsitiks, kai kiekviename traukime nepavyks ištraukti juodo kamuoliuko. Tikimybė, kad neištrauks juodo kamuoliuko traukiant 10 kamuoliukų yra:
99/100 * 98/99 * 97/98 * ... * 90/91 = 90/100 = 9/10 (jei gerai suprastinau mintyse)
O dabar, kokia tikimybė, kad ta pati situacija pasikartos 5 kartus (įvykiai nepriklausomi)? Paprasčiausiai (9/10)^5. Na, o tikimybė, kad bus ištrauktas bent vienas juodas kamuoliukas yra lygi 1 - (9/10)^5.

2. Atrodo, kad bus panašiai kaip aš išsprendžiau pirmą (jei teisingai išsprendžiau), tai paliksiu jį tau pačiam.

Dekuj, Valdai uz informatyvu atsakyma. Viskas labai graziai issisprendzia, bet gal galit paaiskint kaip suprastinot tokio tipo lygti:
99/100 * 98/99 * 97/98 * ... * 90/91 = 90/100 = 9/10 ?

Kadangi cia traukiam tik 10 kamuoliuku tai, be abejo, galima ir mintinai arba su skaiciuotuvu, o jeigu kamuoliuku butu 10 000 ir trauktumem 1000 ar daugiau?
9999/10 000 * 9998/9999 * 9997/9998 * ... * 9000/9001 = ???

Bandziau su faktorialais zaist (99! - 90!) / (100! - 91!), bet panasu, kad grybauju kazkur, nes teisingo atsakymo negaunu.

Dekoju,
Domas

Prašom. Na, pirmiausia, tai yra reiškinys, o ne lygtis. Lygtis, tai kai , pavyzdžiui, reikia surasti kažkokį nežinomą skaičių. Čia tiesiog reikia pastebėti, kad visi skaitikliai, išskyrus paskutinį, susiprastina su visais vardikliais, išskyrus pirmą, t.y., pirmasis skaitiklis susiprastina su antruoju vardikliu, antrasis su trečiuoju, trečiasis su ketvirtuoju, ... , i-tasis su (i+1)-tuoju, ... , (n-1)-tasis su n-tuoju.

O jei nori su faktorialais žaisti, tai:
9999/10 000 * 9998/9999 * 9997/9998 * ... * 9000/9001 = (9999!/8999!)/(10000!/9000!) = (9999! * 9000!)/(10000! * 8999!) = 9000/10000 = 9/10