Keletas nesuprantamu uzdavinuku

Sveiki,

man uzdave keleta uzdavinuku, kuriu nesuprantu. Gal galit padet? :)

1.Kiek skaitmenų reikia užrašyti 2013∙〖1000〗^2013?
2.Įrodykite, kad jeigu n>1 ir 2^n+n^2 yra pirminis skaičius, tai n dalinasi iš 3.
3.Ar lygiakraštį trikampį galima padalinti į 2007 lygiakraščius trikampius?

3. Jei skaičiuotume tik vienodus trikampius, iš kurių sudarytas didensi tai gautme seką 1,4,9,16,25,..., bet atitinkamai bet kurie greta esantys vienodo dydžio trikapiai sudaro dar vieną trikampį. Kiek trikampių susidaro vis pridedant veinodo dydžio trikampius arba grupes iš mažesnių trikampių, o taip pat suskaičiuoti keik susidaro papildomų trikampių besikertant 0, 60 ir 120 laipsnių tiesėms, čia man bjaurios sekos ėmė darytis...
Tada iš kitos pusės pasižiūrėjau. Jei turime 1 trikampį su kraštinėmis a, tai į jį ipiešus dar vieną trikampį (apverstą su kraštinėmis a/2) gaunasi 4 tokie trikampiai, ir tiap vyksta visada, kiek kartų tai bekartotume. Čia lyg ir gaunais paprasta seka 1 + 4n, kuri netinka 2007, nes susidaro leikana 2. Tačiau šitaip įterpinėjant vis mažesnius trikmapius, kai įterpimus padarome į gretimus trikampius galime sukurti tam tikrus didesniu papildomus trikampius, kurių niekas neįterpinėjo (kurie nepaklūsta minėtai sekai).
Tada uždavinys pavirsta į tokį, ar galima įterpiant vis mažesnisu trikampius ir parenkant veitą kur įterpinėsime sukurti situacija, kad tokių papildomų tikampių atsirastų tik 2 kartus po 1 arba iš karto 2 (arba 4x+2), kad būtų kompensuota 2 liekana iš 2007.
Mano atsakymas galime - žr. paaiškinimą 2 brėžinyje.

Beje jei pats skaidomas trikampis neįskaitoms į 2007, tai tinkamoje vietoje galiem sukurti dar veiną papildomą trikampį, o toliaus visų kitų kiekisi bus 4 kartotinis.

Tačiau jei "padalinti" reiškia tai, kad bet kurio trikampio plotas negali įeiti į kito trikampio plotą, tada atsakymas negalima, nes tokių trikampių seka gaunasi 1 + 3n (skaitant bet kurį trikampį jis dingsta ir veitoj jo atsiranda 4 mažesnis su a/2 kraštinėmis). 2007 nėra šios sekos narys.
Taip, kad atsakymas priklasuo nuo to kaip interpretuosi sąlygą.

Pirmajam spendimui man kilo klausimas į kokį skaičių trikampių negalima suskaidyti lygiakrašio trikampio -aišku kad su mažais skaičiais tokių dalykų bus, pvz. nesikiado į 2,3,5, bet nuo kažkurio skaičiaus pirmuoju būdu galima padalinti į bet kokį skaičių trikampių.

Vis tik geriau pagalvojus, bet kuriuo būdu eina tą lygiakraštį trikampį padalinti į 2007 mažesnių (skiringo ddžio) lygiakraščių trikampių, net jei "padalinit" reiškia, kad nei vieno trikampio plotas negali būti kito trikampio ploto dalis. Tieisog sprendžiame šiek tiek kitaip, ta prasme, kad esame saugūs dėl "papildomų" trikmapių, jie neatsiranda, o dalinimo metu padalintasi trikampis išnyksta. Čia mums svarbios 3 sekos:
1) iš kelių vienodų lygiakraščių trikampių gali būti sudarytas didesnis lygiakraštis trikampis. Gaunasi kvadratų seka n²: 1,4,9,16,25,...
2) į kelis mažesnius vienodo dydžio lygiakraščius trikampius gali būti padalintas lygiakraštis trikampis. Gaunasi seka n²-1 (vietoj vieno atsiranda keli);
3) iš kelių mažesnių vienodų lygiakraščių trikampių galima sudaryti didesnį lygiakraštį trikampį. Gaunasi seka -n²+1 (vietoj kelių atsiranda vienas).
Tokį dalinimą ir jungimą galima taikyti tiek kartų kiek reikės, universali seka išeitų n² +/- k|m²-1|.
2007 padarykime šitaip:
Padalinkime į 9 trikampius, tada patį viršutinį padalinkime į 4, po to vėl viršutinį į 4, po to vėl... Gausime seką 9, 12, 15, 18, 21, ..., 2007, t.y. n=3, m=2, k= 666.
Manau, kad gali būti ir kitokių kombinacijų, nes lygtis su 3 nežinomaisiais... :)

NEtgi ir pirmasi variantas gali būti daromas iš karto įbrėžiant ne a/2, o padalinant į n², tik čia reiak iįvertitni kiek ir kokių papildomų trikamių tada atsiranda...

Medis kaip visada kapsto uždavinius (kai kuriuos ir paprastus) iki neregėtų matmenų ... :D moralas būtų toks, kad ne dėstytum savąsias teorijas, o tiesiog pasiremdamas elementaria logika, spręstum uždavinius lengvesniu keliu. Nes žmonės prašydami pagalbos ir sulaukdami tavo atsakymo gali dar labiau nesuprasti uždavinio sprendimo esmės. Šiuo atveju labai gerai ir taktiškai uždavinius sprendžia Almostlow ir dar keli forumiečiai. Tik neįsižeisk, man pvž. tavo uždavinio analizavimai patinka, bet norėjau parašyti, jog ne visi prašantys pagalbos pakankamai matematiškai išprusę. Tad tavo sprendimo pateikimas gali pasirodyti kai kam it ''Gordijaus mazgas'' :)

Ten kus sąlyga absoličiai vienareikšmiška, nėra reikalo kapstyti, bet kad labai jau dažnai sąlygos būna dugiaprasmės. Čia toks profesinis yprotis pas mane kapstyti ir matyti daug variantų, kur kiti gal mato vieną. Kartais taip jau gaunasi, kad per medžius miško nebematau... :)