Keli kombinatorikos uždaviniai

1) Krepšininkas mesdamas baudą pataiko į krepšį su tikimybe 0,8. Krepšininkas ruošiasi mesti 3 baudas. Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X matematinę viltį, jei X - pataikytų metimų skaičius.

2) Išleista 500 loterijos bilietų, kurių vienas laimi 100 eurų, keturi - po 50 eurų, dešimt - po 5 eurus. Kiek mažiausia turėtų kainuoti loterijos bilietas, kad loterija nebūtų nuostolinga?

3) Kiek triženklių lyginių natūraliųjų skaičių galima užrašyti skaitmenimis 1, 2, 3, 5, 7?

1) Taikome Bernulio formulę:
Pažymime p = 0,8, q=0,2
Jei X -"pataikytu metimu skaičius"
Tada:
P(X=0) = C(3;0)[tex]\cdot0,8^{0}\cdot 0,2^{3} =0,008[/tex]
P(X=1) = C(3;1)[tex]\cdot0,8^{1}\cdot 0,2^{2} =0,096[/tex]
P(X=2) = C(3;2)[tex]\cdot0,8^{2}\cdot 0,2^{1} =0,384[/tex]
P(X=3) = C(3;3)[tex]\cdot0,8^{3}\cdot 0,2^{0} =0,512[/tex]

Kontrolė: 0,008+0,096+0,384+0,512 = 1

Tada matematinė viltis:
E(X) = [tex]0,008\cdot 0+0,096\cdot 1+0,384\cdot 2+0,512\cdot 3[/tex]
E(X) = [tex]0+0,096+0,768+1,536=2,4[/tex]

Ats.: 2,4

2) X - "laimėta pinigų suma"
P(X=0) = [tex]\frac{500-(10+4+1)}{500}=\frac{485}{500}=0,97[/tex]
P(X=5) = [tex]\frac{10}{500}=0,02[/tex]
P(X=50) = [tex]\frac{4}{500}=0,008[/tex]
P(X=100) = [tex]\frac{1}{500}=0,002[/tex]

Kontrolė: 0,97+0,02+0,008+0,002=1

Skaičiuojame matematinę viltį E(X):
[tex]E(X)=0,97\cdot 0 + 0,02\cdot 5 + 0,008\cdot 50 + 0,002\cdot 100[/tex]
[tex]E(X)=0 + 0,1 + 0,4 + 0,2 = 0,7[/tex]

Taigi bilietas turi kainuoti ne mažiau 0,7 eurų

3) Lyginiai skaičiai - skaičiai kurių paskutinis skaitmuo lyginis skaičius.
Vadinasi pirmam skaitmeniui parinkti yra 5 galimybė.
Antram skaitmeniui parinkti yra taip pat  5 galimybės (skaitmenys gali kartotis)
Trečiam 1 (yra tik vienas lyginis)

Tada pagal kombinatorikos daugybos taisyklę gauname, jog lyginių triženklių skaičių galime sudaryti:
[tex]5\cdot 5\cdot 1 = 25[/tex]

Ats.: 25