1. Marius savo dėžutėje turi 3 korteles su gyvūnų atvaizdais. Dviejose kortelėse gyvūno atvaizdas yra tik vienoje pusėję, o vienoje kortelėje gyvūno atvaizdas yra abiejose kortelės pusėse.
Marius sesutė atsitiktinai paima iš dėžutės dvi korteles ir jas padeda ant stalo. Apskaičiuokite tikimybę, kad abi kortelės padėtos gyvūnų atvaizdais į viršų
2. Kalėdų progra visi klasės mokiniai apsikeitė dovanėlėmis. Kiekvienas dovanojo po dovanėlę kiekvienam kitam. Iš viso buvo padovanotos 506 dovanėlės. Kiek mokinių yra klasėje?
Kaip tokio tipo spręst? Paaiškinkit, nes žinau, kad n(n-1)=506, o kodėl be faktorialo? Čia panašus į 1 užduotį
3. Apskaičiuokite atsitiktinio dydžio X dispersiją, jei X- įvykio A pasirodymų skaičius dviejuose nepriklausomuose bandymuose. Įvykio A tikimybės abiejuose bandymuose vienodos ir žinoma, kad Ex=1,2
tai susidarau, kad x1 ir x2 yra vienodos tikimybės, tada p+p=1 p=0.5 ir bandau į ex statytis ir gaunu x1+x2=2.4, o toliau kaip?
1 uždavinys:
Kadangi uždavinyje duotos tik 3 kortelės, mes galime nesunkiai išrašyti visus galimus variantus: Korteles žymime raidėmis A, B ir C, o indeksai 1 ir 2 reiškia vieną arba kitą tos kortelės pusę:
[tex]A_{1}B_{1},A_{1}B_{2}, A_{1}C_{1}, A_{1}C_{2}, A_{2}B_{1},A_{2}B_{2}, A_{2}C_{1}, A_{2}C_{2}, B_{1}C_{1}, B_{1}C_{2}, B_{2}C_{1}, B_{2}C_{2}[/tex]. Taigi viso turime 12 variantų.
Randame įvykiui X - "abi ištrauktos kortelės padėtos atvaizdais į viršų" palankias baigtis: (kortelėse A ir B atvaizdai yra iš vienos pusės, kortelėje C iš abiejų):
[tex]A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, A_{1}C_{2}, B_{1}C_{1}, B_{1}C_{2}[/tex] - 5 palankios baigtys.
Tikimybė:
[tex]P(A)=\frac{5}{12}[/tex]
Galima skaičiuoti ir kitu būdu. Jis tinka, kai skaičiai yra didesni ir sunku išrašyti visus variantus:
Viso baigčių yra:
[tex]C_{6}^{2}-3[/tex] (skaičiuojame, kiek derinių galima sudaryti iš visų 6 kortelių pusių atimdami 3, nes neįmanoma, jog kažkuri iš 3 kortelių atsiverstų ir viena ir kita puse)
Palankių baigčių:
[tex]C_{4}^{2}-1[/tex] (skaičiuojame, kiek derinių galima sudaryti iš 4 kortelių pusių (nes iš visų 6 kortelių pusių, 4 yra su atvaizdu) atimdami 1 (dvipusių kortelių skaičių), nes neįmanoma, jog dvipusėje kortelėje atsiverstų abi pusės)
Tada:
[tex]P(A)=\frac{C_{4}^{2}-1}{C_{6}^{2}-3}=\frac{6-1}{15-3}=\frac{5}{12}[/tex]
Ats.: [tex]\frac{5}{12}[/tex]
2 uždavinys:
Šiame uždavinyje yra žinomas gretinių iš n po 2 skaičius, t.y.: [tex]A_{n}^{2}[/tex], t.y.: 506. Gretiniai, tai tokie rinkiniai, kai eilės tvarka yra svarbi. Kodėl šiuo atveju eilės tvarka svarbi? Tarkime rinkinius apibrėžiame taip (x,y), čia x - žmogus, kuris duoda, y- kuris gauna. Akivaizdu, jog jei turime mokinius A ir B tai rinkiniai (A,B) ir (B,A) yra skirtingi ir kiekvienas jų atitinka vieną padovanotą dovaną. Štai kodėl skaičiuojame gretinius:
[tex]A_{n}^{2}=n(n-1)[/tex], vadinasi gauname lygtį:
[tex]n(n-1)=506[/tex]
Žinoma, galime naudoti ir gretinių formulę su faktorialais, atsakymas tas pats:
[tex]A_{n}^{2}=\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{(n-2)!\cdot (n-1)n}{(n-2)!}=n(n-1)[/tex]
Taigi, o išsprendę lygtį: [tex]n(n-1)=506[/tex]
Natūralus šios lygties sprendinys: n=23.
Ats.: 23
Ačiū, kad padėjai, o kaip dėl 3 ar yra minčių?