Į apskritimo kurio spindulys 2 ,o centras koordinačių sistemos pradžios taškas O apskritimo dalį esančia pirmame ketvirtyje įbrėžtas stačiakampis OABC taškas C priklauso OY ašiai ,taškas B priklauso apskritimui ,taškas A yra OX ašyje ir jo koordinatės A(x,0) 0≤x≤2 .Koks gali būti mažiausias plotas figūros kuri gaunama iš skritulio ploto esančio pirmame ketvirtyje atėmus stačiakampio plotą?
pakeista prieš 3 m
Tomas PRO +4543
Apskritimo lygtis: [tex]x^2+y^2=2^2[/tex]. Iš čia pirmo ketvirčio apskritimo lanko lygtis: [tex]y=\sqrt{4-x^2}[/tex]. Tada stačiakampio OABC viršūnių koordinatės: [tex]O(0;0),\space A(x;0),\space B(x;\sqrt{4-x^2}),\space C(0;\sqrt{4-x^2})[/tex], kur [tex]0≤x≤2[/tex]. Tada: [tex]OA=x,\space AB=\sqrt{4-x^2}[/tex] ir stačiakampio ploto funkcija: [tex]S_{\textrm{stačiakampio}}(x)=x\cdot \sqrt{4-x^2}[/tex] Skritulio ketvirčio plotas lygus: [tex]\dfrac{1}{4}\cdot \pi\cdot 2^2=\pi[/tex]. Taigi nagrinėjamos figūros ploto funkcija: [tex]S(x)=\pi-x\cdot \sqrt{4-x^2}[/tex], kur [tex]0≤x≤2[/tex]. Randame: [tex]S'(x)=-\sqrt{4-x^2}+\dfrac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}[/tex]. Tada, kai [tex]S'(x)=0[/tex], tai: [tex]x=±\sqrt{2}[/tex]. Apibrėžimo sričiai priklausantis kritinis taškas yra [tex]x=\sqrt{2}[/tex]. Tada: [tex]S(0)=\pi-0\cdot \sqrt{4-0^2}=\pi[/tex] [tex]S(\sqrt2)=\pi-\sqrt2\cdot \sqrt{4-(\sqrt2)^2}=\pi-2[/tex] [tex]S(2)=\pi-2\cdot \sqrt{4-2^2}=\pi[/tex] Vadinasi mažiausias figūros plotas lygus [tex]\pi-2[/tex]. Ats.: [tex]\pi-2[/tex]