eMatematikasMatematikos resursai internete Registruotis Ieškoti...

Keturių taškų uždavinys su išvestine NOR

Funkcijos   Peržiūrų skaičius (104)

Į apskritimo kurio spindulys 2 ,o centras koordinačių sistemos pradžios taškas O apskritimo dalį esančia pirmame ketvirtyje įbrėžtas stačiakampis OABC taškas  C priklauso OY ašiai ,taškas B priklauso apskritimui ,taškas A yra OX ašyje ir jo koordinatės A(x,0) 0≤x≤2 .Koks gali būti mažiausias plotas figūros kuri gaunama  iš skritulio ploto esančio pirmame ketvirtyje atėmus stačiakampio plotą?

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-07-22

0

Apskritimo lygtis:
[tex]x^2+y^2=2^2[/tex]. Iš čia pirmo ketvirčio apskritimo lanko lygtis: [tex]y=\sqrt{4-x^2}[/tex].
Tada stačiakampio OABC viršūnių koordinatės:
[tex]O(0;0),\space A(x;0),\space B(x;\sqrt{4-x^2}),\space C(0;\sqrt{4-x^2})[/tex], kur [tex]0≤x≤2[/tex].
Tada: [tex]OA=x,\space AB=\sqrt{4-x^2}[/tex] ir stačiakampio ploto funkcija:
[tex]S_{\textrm{stačiakampio}}(x)=x\cdot \sqrt{4-x^2}[/tex]
Skritulio ketvirčio plotas lygus: [tex]\dfrac{1}{4}\cdot \pi\cdot 2^2=\pi[/tex].
Taigi nagrinėjamos figūros ploto funkcija:
[tex]S(x)=\pi-x\cdot \sqrt{4-x^2}[/tex], kur [tex]0≤x≤2[/tex].
Randame: [tex]S'(x)=-\sqrt{4-x^2}+\dfrac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}[/tex].
Tada, kai [tex]S'(x)=0[/tex], tai: [tex]x=±\sqrt{2}[/tex].
Apibrėžimo sričiai priklausantis kritinis taškas yra [tex]x=\sqrt{2}[/tex].
Tada:
[tex]S(0)=\pi-0\cdot \sqrt{4-0^2}=\pi[/tex]
[tex]S(\sqrt2)=\pi-\sqrt2\cdot \sqrt{4-(\sqrt2)^2}=\pi-2[/tex]
[tex]S(2)=\pi-2\cdot \sqrt{4-2^2}=\pi[/tex]
Vadinasi mažiausias figūros plotas lygus [tex]\pi-2[/tex].
Ats.: [tex]\pi-2[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-07-22

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!