Keturkampis ir trikampių plotų santykis

Keturkampyje ABCD  taškas  E∈AD  AB/CE=BE/CD=AE/ED  AB=6 ,  BE=8 , EC=2  Įrodykite  kad trikampių  ABE ir BEC plotų santykis yra  3

Jei [tex]\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{ED}[/tex], tai pagal tris proporcingas kraštines [tex]ΔABE\simΔCED[/tex]. Kadangi panašiųjų trikampių atitinkami kampai yra lygūs, gauname, kad: [tex]∠AEB=∠CDE=\alpha,\space ∠BAE=∠CED=\beta[/tex].
Iš trikampio BAE: [tex]∠ABE=180^\circ-(\alpha+\beta)=\varphi[/tex]
Pagal gretutinių kampų savybę: [tex]∠BEC=180^\circ-(\alpha+\beta)=\varphi[/tex]
[tex]S_{ΔABE}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BE\cdot \sin(∠ABE)=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin\varphi=24\sin\varphi[/tex]
[tex]S_{ΔBEC}=\dfrac{1}{2}\cdot BE\cdot CE\cdot \sin(∠BEC)=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 2\cdot \sin\varphi=8\sin\varphi[/tex]
[tex]\dfrac{S_{ΔABE}}{S_{ΔBEC}}=\dfrac{24\sin\varphi}{8\sin\varphi}=3[/tex]