Koši-Švarco nelygybės, keletas uždavinių

1.Įrodykite, kad visiems teigiamiems skaičiams galioja 4(a^3+b^3) ≥ (a+b)^3

2. Naudodamiesi Koši-Švarco nelygybe, įrodykite, kad neneigiamų skaičių aritmetinis vidurkis nemažesnis už harmoninį.

3.Duota, kad teigiami skaičiai xy+yz+zx = 1 tenkina Įrodykite, kad tada
1/xz+1/yz+1/zx (daugiau arba lygu) 9

1 užduočiai, manyčiau taip:
4(a³+b³) ≥ (a+b)³
(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
4a³ + 4b³ ≥  a³+3a²b+3ab²+b³
3a³ + 3b³ -3a²b - 3ab² ≥ 0 // :3
a²(a-b) + b²(b-a) = a²(a-b) - b²(a-b) = (a-b)(a²-b²) = (a-b)(a-b)(a+b) = (a-b)²(a+b)
a+b > 0, jei a>0 IR b>0 pagal apibrėžimą
(a-b)² > 0, jei a ≠ b ARBA (a-b)² = 0, jei a = b.

Koši-Švarc nelygybė: [tex](a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2[/tex].
Jei žinai šitą nelygybę, tai kame tada problemos?..
2. [tex]\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}\geq(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_i\cdot\frac{1}{x_i}})^2=n^2\Rightarrow\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\geq\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}[/tex].
Trečią pats spręsk :D