Taip, kadangi $\cos 40^o$ yra lygu su $2\cos^220^o-1$, tai ir gaunasi tas fokusas, kad ir Dozz atsakymas teisingas. Tačiau išryškėja pagrindinė mokyklinio kurso problema: apsiribojama formulių taikymu visiškai atsisakant pastebėti tų formulių loginius pagrindus. Kosinusų teoremą lygiašonio trikampio atveju laikau ,,patranka žvirbliams šaudyti". Iš tikro, jei šiame uždavinyje būtų taikomos idėjos, panašios į kosinusų teoremos įrodymą, tai jos matyt būtų dar paprastenės už patį kosinusų teoremos taikymą. Savo sprendime daug jų nekomentavau, tačiau jos tokios nesudėtingos, kad net neprireikė man išsitraukti rašiklio.
Tomas PRO +4543
Išsprendžiau uždavinį ir tavuoju variantu, jis labai tiktų sprendžiant jį esant 10-tokui, bet nematau nieko blogo kosinusų teoremos pritaikyme, kas yra kur kas akivaizdžiau.
pakeista prieš 6 m
mathfux PRO +286
10-tokai supažindami su trigonometrinėmis funkcijomis per statųjį trikampį, o 11-tokams šių funkcijų panaudojimo galimybės praplečiamos aiškinant šias funkcijas pasitelkiant vienetinį apskritimą. Man abu apibrėžimai atrodo priimtini ir nė vienas nesudaro įspūdžio, jog žiūrima į kažką per aplinkui.
Teisingai, Tomai. Gerai, kad priminei mokyklinės programos išdėstymą. Man pasisekė susipažįstant su trigonometrija pakankamai nuo jos atitrūkti, todėl pradėjau nuo sinuso ir kosinuso apibrėžties per vienetinį apskritimą. Ir šiuo požiūriu jaučiuosi netgi išlošęs atminties prasme. Man atrodo, jog interpretacija per vienetinį apskritimą reikalauja daug mažiau atminties resursų negu, kad per kraštines. Tiesa, ir angliškoje Vikipedijoje ši interpretacija (per trikampio kraštines) laikoma pagrindine, o po to siūloma jai ekvivalenti antroji.
Tomas PRO +4543
Aš manau aiškinti trigonometrines funkcijas per apskritimą, kai vėliau sprendžiant uždavinius to apskritimo taip ir netenka braižyti, gali tik pridaryti dar didesnės painiavos naujos sąvokos įsisavinimui, jei kalbame apie dešimtokus.
mathfux PRO +286
Žvilgterėkime į šią vaikiškai paprastą geometrinę situaciją. Nupiešiau lygiašonį trikampį, kurio šoninės kraštinės yra lygios po 60, o pažymėtas kampas lygus $20^o$. Ar dabar aišku, kodėl pagrindo pusė yra lygi $6\sin 20^o$?
Griežto įrodymo nepateiksiu, nes tai labiau geometrinės vaizduotės, nei aritmetinio sprendimo įforminimo klausimas.
Tomas PRO +4543
Jei klausei manęs, tai aš kaip ir sakiau, išsiaiškinau tavąjį sprendimą, taip pat nurodžiau kelintokui toks sprendimas būtų arčiausiai širdies. Tikrai gražiai išsisprendžiantis uždavinys, ypač jei taikome mintinį skaičiavimą, bet kosinusų teoremą 11-tokui ar 12-tokui pritaikyti tikrai greičiau šaus į galvą.
pakeista prieš 6 m
mathfux PRO +286
Aš manau aiškinti trigonometrines funkcijas per apskritimą, kai vėliau sprendžiant uždavinius to apskritimo taip ir netenka braižyti, gali tik pridaryti dar didesnės painiavos naujos sąvokos įsisavinimui, jei kalbame apie dešimtokus.
Čia jau imame liesti kultūrinius klausimus. Mano požiūriu, tai priklauso nuo mokyklinio turinio tikslų ir jų siekimo priemonių. Aš esu tos nuomonės šalininkas, kad matematika turi būti suprantama daugumai, bet ne nulengvinto jos lygio sąskaita, ir egzaminuose turėtų būt tikrinami ne gebėjimai taikyti formules, o samprotauti. Tikslo siekimo priemonė, kurią aš laikau pasiteisinančia - kiekvienam matematiniui objektui priskirti prasmę. Būtent todėl man ir sekėsi mokyklinė matematika: jei mokytoja neišaiškindavo objektų prasmės, tai suteikdavau objektams ją pats.
Keli pavyzdžiai: • 2*3=6 gali būti interpretuojama kaip 2 eilučių po 3 langelius langelių kiekis • 2,5*3,5= 5,75 gali būti interpretuojama kaip stačiakampio kraštinių ilgio sandauga • veiksmui (-2,5)*(-3,5)= 5,75 galime suteikti tik gana dirbtinę prasmę naudojant greitį, nukreiptą atgal ir laiką į praeitį. • išvada $\fbox{xy=0}\Leftrightarrow \fbox{x=0}\text{ arba }\fbox{y=0}$ didelei daliai moksleivių neprigija sprendžiant paprasčiausius VBE uždavinius. Kodėl? Viena iš versijų: moksleiviai neieško daugybos prasmės, pvz. neklausia, kada kaina kart svoris lygu 0 arba kokiais atvejais vienas dydis kart kitas lygu 0 • Galiausiai, išmokstama $\sin \alpha = AB/AC$ ir pan. Neklausiama, kodėl tai galioja, kokia prasmė yra apsikrauti trimis trijų kraštinių sąryšiais. Iškalamos sinuso, kosinuso ir tangento lygybės, o po to nuolat painiojamasi jų naudojime. Turbūt dėl to natūraliai, netyčiomis ėmiau ieškoti kitos prasmės ir ją radau.
