ematematikas Registruotis Ieškoti

Kvadrato plotas lygus trikampio plotui.

Geometrija   Peržiūrų skaičius (59)

ABCD kvadratas.Pratęsus kraštinę  BC pažymime tašką L. Atkarpa AL kerta kvadrato kraštinę CD taške M  Kvadrato ABCD plotas ir trikampio CML plotas yra lygūs Apskaičiuokite CM/MD

0

Pažymėkime kvadrato kraštinę a, o CL = x.
Galima įrodyti, jog: ΔCML[tex]\sim[/tex]ΔAMD.
Tada:
[tex]\dfrac{CM}{MD}=\dfrac{x}{a}[/tex].
Galima įrodyti, jog: ΔCML[tex]\sim[/tex]ΔLBA.
Tada:
[tex]\dfrac{x}{a+x}=\dfrac{CM}{a}[/tex].
Iš čia: [tex]CM=\dfrac{ax}{a+x}[/tex].
[tex]S_{ABCD}=a^2,\\S_{ΔCML}=\dfrac{1}{2}\cdot CM\cdot CL=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{ax}{a+x}\cdot x=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{ax^2}{a+x}.[/tex]Kadangi: [tex]S_{ABCD}=S_{ΔCML}[/tex], tai:
[tex]\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{ax^2}{a+x}=a^2[/tex]
Pertvarkome šią lygybę:
[tex]\dfrac{ax^2}{a+x}=2a^2\implies ax^2=2a^2(a+x)\implies x^2=2a^2+2ax\implies x^2-2ax-2a^2=0|:a^2\implies\\ \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{2ax}{a^2}-\dfrac{2a^2}{a^2}=0\implies \left( \dfrac{x}{a} \right)^2-2\cdot \dfrac{x}{a}-2=0.[/tex]Pažymime: [tex]\dfrac{x}{a}=t[/tex], gauname lygtį:
[tex]t^2-2t-2=0[/tex].
Išsprendę lygtį gauname: [tex]t_1=1-\sqrt 3,\space t_2=1+\sqrt3[/tex].
Neigiamą sprendinį atmetame, nes atkarpų ilgių santykis negali būti neigiamas. Gauname:
[tex]\dfrac{CM}{MD}=\dfrac{x}{a}=1+\sqrt3[/tex].

Paskutinį kartą atnaujinta 2020-08-11

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!