eMatematikas Paieška

Laimės ir tragedijos simbiozė. Matematinė novelė. 1 dalis

Tikimybių teorija Peržiūrų skaičius (848)

1.  "PAPRASTAS" UŽDAVINYS

"Nagi paskaičiuokime,
gerbiamieji kurmiai ! "

Uždavinys:Mokinys paėmė nuo lentynos penkias skirtingas knygas. Po to atsitiktine tvarka sudėjo jas atgal į lentyną. Kokia tikimybė, kad tik dvi knygos atsidurs ankstesnėse vietose?
Sąlygoje slypi nuostabi LAIMĖS IR TRAGEDIJOS SIMBIOZĖ. Dvi knygos turi "grįžti namo". O kategoriškas "tik" verčia kitas tris knygas "pasiklysti", "nerasti namų", ir...atsidurti svetur.
Kitaip tariant, dvi knygas turi lydėti LAIMĖ, o likusias tris knygas ištiks TRAGEDIJA.
Uždavinys yra paprastas tik tada, kai knygų (ar kitų elementų) skaičius yra nedidelis, ir uždavinį galima išspręsti TIESIOGINIU MODELIU. "Su pirštais", kaip sakoma.
Tačiau šis uždavinys tikrai nėra lengvas, vos tik pereinama prie apibendrinimo, t.y. prie N knygų. Nors mes vėliau čia tai padarysime.
Tuo tarpu iš pradžių, idant vėliau neliktų abejonių ar ginčių, spręsime pagal modelį, netingėdami pasigrožėti visomis bei įvykiui palankiomis bandymo baigtimis, o ne vien tik jų skaičiumi (kuris, kaip yra gerai žinoma, vis dėlto yra svarbiausias).
Taigi, dabar spręsime pagal tiesioginį modelį.
SPRENDIMAS:  Tarkime, kad yra penkios knygos: {a, b, c, d, e} ( čia ir toliau knygas laikysime skirtingomis, kad galėtume taikyti junginius be pasikartojimų). Sakykime, jog į savo ankstesnes vietas (NAMO) grįžta knygos a ir b. Tikimybė, kad "susiras namus" knyga a yra lygi [tex]\frac{1}{5}[/tex], o knygai b ši tikimybė yra [tex]\frac{1}{4}[/tex]
Tikimybė, kad knygos a ir b sugrįš į savo ankstesniąsias vietas, yra lygi [tex]\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}[/tex]
Kadangi LAIMINGŲ KNYGŲ DVEJETĄ galima pasirinkti [tex]C_{5}^{2}[/tex] būdais, tai tikimybė, jog  dvi knygos sugrįš į savo ankstesnes vietas ,- laimės L tikimybė
P(L)= [tex]C_{5}^{2}\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2!}[/tex]
Beje, tai yra iškalbingas, "prasmę delne nešantis" rezultatas.
Liko rasti tragedijos T, t.y. likusiųjų trijų knygų PASIKLYDIMO tikimybę P(T). O tai jau NĖRA TAIP PAPRASTA. Tepadeda mums tiesioginis modelis !
Modelis A:
{C, D, E}
1) (c, d, e)
2) (c, e, d)
3) (d, e, c) (p)
4) (d, c, e)
5) (e, c, d) (p)
5) (e, d, c)
Čia raide p pažymėjome įvykiui T (t.y. TRAGEDIJAI) palankias bandymo baigtis, jų yra dvi.
Todėl likusiųjų trijų knygų c, d, e tragedijos (pasiklydimo) tikimybė
P(T) = [tex]\frac{2}{3!}= \frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/tex]
Todėl LAIMĖS IR TRAGEDIJOS SIMBIOZĖS tikimybė (tikimybė, jog grąžinant į lentyną penkias knygas, tik dvi iš jų grįš į savo ankstesnes vietas) yra
[tex]P(L\cap T)=\frac{1}{2!}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/tex]
Atsakymas: [tex]\frac{1}{6}[/tex]
Modelis A, kuris čia buvo pritaikytas, gali būti išplėstas į kitas situacijas, dar ir dar pabrėžiant tikimybių teorijos uždavinių, bei jų pateikčių, įvairovę.
PAVYZDYS:  Pilietis parašė tris laiškus skirtingiems adresatams, įdėjo juos į vokus, užklijavo, ir tik tada (atsitiktinai) užrašė gavėjų adresus. Kokia tikimybė, kad nei vienas laiškas nepasieks reikiamo adresato ?
Tragedijos tikimybė (modelis A) P(T) =[tex]\frac{2}{3!}=\frac{1}{3}[/tex]
PAVYZDYS:  Penki restorano lankytojai paliko rūbinėje savo skrybėles. Išsiblaškęs rūbininkas užmiršo, kam kokia skrybėlė priklauso, ir, pasibaigus vakarui, grąžino šiems lankytojams jų skrybėles atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad tik du lankytojai atgavo savo skrybėles?
Laimės ir tragedijos simbiozės tikimybė [tex]P(L\cap T)= \frac{1}{6}[/tex]
PAVYZDYS: Dėžėje yra penki sunumeruoti (nuo 1 iki 5) rutuliai. Atsitiktinai, atgal negrąžindami, imame iš dėžės po vieną visus penkis rutulius. Kokia tikimybė, kad tik dviejų rutulių numeriai sutaps su traukimo eiliškumo numeriais? 
Atsakymas: [tex]P(L\cap T)=\frac{1}{6}[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-01-14

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!