eMatematikasMatematikos resursai internete Registruotis Ieškoti...

Laimės ir tragedijos simbiozė. Matematinė novelė. 4 dalis

Tikimybių teorija   Peržiūrų skaičius (803)

4) IR GRĮŽTA KNYGOS Į LENTYNĄ...
"Suirutė tikėtinesnė už tvarką,
nes suirutė- tai nepažinta
tvarka..."
Pagaliau galime apibendrinti "paprastą uždavinį", nuo kurio "viskas prasidėjo".
UŽDAVINYS:  Lentynoje buvo N=k+n knygų. Mokinys jas paėmė, po to atsitiktine tvarka grąžino atgal. Kokia tikimybė, kad tik k knygų atsidurs savo ankstesnėse vietose?
Kitokios pateiktys: Tik k laiškų pasieks reikiamus adresatus, tik k ponų "po baliaus" atgaus savo nuosavas skrybėles, ir t.t.
Kitaip tariant, mus dabar domins tikimybė, jog k elementų (knygų, laiškų, atšventusių ponų...) sulauks LAIMĖS L, o likusius N-k=n elementų ištiks tragedija T (jie pasiklys).
Vėl grįžtame prie nuostabiosios Laimės L ir Tragedijos T simbiozės, mus domins įvykio [tex]A=L\cap T[/tex]  tikimybė.
k knygų turi "grįžti namo" (laimė L), o kitos n knygų turi pasiklysti (tragedija T)
Laimės L tikimybė:
[tex]P(L)=C_{n+k}^{k}\cdot \frac{1}{n+k}\cdot \frac{1}{n+k-1}\cdot ...\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{1}{k!}[/tex]
Šį rezultatą lengva paaiškinti. Juk k knygų turėjo k vietų ("savo namų"), jomis tas knygas galima paskirstyti k! būdais. O laimė juk vienintelė, tiesa?
Na, o likusių n knygų "tragedijos" (visiško pasiklydimo) tikimybę jau turime:
[tex]P(T)=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...+(-1)^{n}\frac{1}{n!}[/tex]
Nagrinėjamo uždavinio tikslas yra LAIMĖS IR TRAGEDIJOS SIMBIOZĖS, t.y. įvykio [tex]L\cap T[/tex] tikimybė.
Gauname:
[tex]P(L\cap T)=\frac{1}{k!}\left ( \frac{1}{2!} -\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...+(-1)^{n}\frac{1}{n!}\right )[/tex]
Tai bene svarbiausioji mūsų novelės formulė.
Aišku, ši formulė yra teisinga tuo atveju, kai k≥0, n≥2.
Kai n=1 [tex]P(L\cap T)=0[/tex], nes negali pasiklysti tik vienas elementas (laiškas, knyga, skrybėlė...)
Kai n=0 [tex]P(L\cap T)=\frac{1}{k!}[/tex] (elementarioji kombinatorika).
Dabar palyginsime gautą rezultatą su tais, kurie ANTROJE NOVELĖS DALYJE buvo gauti modelių pagalba.
Kai k=2, n=2 (antrosios dalies uždavinys 2):
[tex]P(L\cap T)=\frac{1}{2!}\cdot \frac{1}{2!}=\frac{1}{4}[/tex]
Kai k=2, n=3 ( novelės pradinis uždavinys, nuo kurio ir prasidėjo pokalbis):
[tex]P(L\cap T)=\frac{1}{2!}\cdot \left ( \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} \right )=\frac{1}{6}[/tex]
Kai k=3, n=4 (antrosios dalies uždavinys 4):
[tex]P(L\cap T)=\frac{1}{3!}\cdot \left ( \frac{1}{2!} -\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\right )=\frac{1}{16}[/tex]
Jei laiškų be galo daug, tai TRAGEDIJOS T (visiško pasiklydimo) tikimybė yra riba
[tex]\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{1}{2!} -\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-...+(-1)^{n}\frac{1}{n!}\right )=\frac{1}{e}[/tex]
Svarbiausiąją novelės formulę galima ir kitaip pateikti.

Jei yra N elementų (knygų, laiškų, skrybėlių...), tai tikimybė, jog LAIMĖS SULAUKS tik k elementų (jie grįš namo, kiti N-k pasiklys), yra lygi
[tex]P(L\cap T)=\frac{1}{k!}\left ( \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} -...+(-1)^{N-k})\frac{1}{(N-k)!}\right )[/tex], kai k≤N-2,
[tex]P(L\cap T)=0[/tex], kai k=N-1
[tex]P(L\cap T)=\frac{1}{N!}[/tex], kai k=N.
Priminsime, jog priešpaskutinė eilutė aiškina, jog nebūna vienišų paklydėlių, o paskutinioji eilutė išreiškia visiškos laimės tikimybę.
Skyrelio pabaigai išspręsime dar vieną uždavinį, kurį pavadinsime DVIEJŲ LAIŠKŲ UŽDAVINIU.
DVIEJŲ LAIŠKŲ UŽDAVINYS:
Vienas asmuo parašė N laiškų, įdėjo juos į skirtingų spalvų vokus. Kitas asmuo atsitiktinai užrašė gavėjų adresus. Kokia tikimybė, kad du konkretūs laiškai- žalias ir geltonas,- "pasiklys"?
Sprendimas: Įvykis A - abu konkretūs laiškai pasiklys,
Jam priešingas įvykis B- bent vienas iš tų dviejų laiškų pasieks reikiamą adresatą.
Įvykis C- žalias laiškas pasieks reikiamą adresatą,
Įvykis D- geltonas laiškas pasieks reikiamą adresatą.
Tada [tex]P(B)=P(C\cup D)=P(C)+P(D)-P(C\cap D)[/tex],
T.Y. [tex]P(B)=\frac{1}{N}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N-1)}=\frac{2N-3}{N(N-1)}[/tex]
Tuomet ieškomoji tikimybė
[tex]P(A)=1-P(B)=\frac{N^{2}-3N+3}{N^{2}-N}[/tex]
laukite tęsinio.

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!

Kategorijos

Matematikos testai www.ematematikas.lt/testai Pasikartok matematikos temas spręsdamas online testus!