Laipsninė funkcija, jos grafiko liestinė, funkcijų grafikų ribojamas plotas

Turime laipsninę funkciją [tex]f(x)=x^n\space(x≥0,\space n∈\mathbb{N}, n>1)[/tex]. Per tašką [tex](a;a^n)[/tex] nubrėžta šios funkcijos grafiko liestinė [tex]y=g(x)[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Tiesė [tex]y=g(x)[/tex], funkcijos [tex]y=f(x)[/tex] grafikas ir OY ašis riboja plotą, kurio dydis [tex]S_1[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Tiesė [tex]y=a^n[/tex], funkcijos [tex]y=f(x)[/tex] grafikas ir OY ašis riboja plotą, kurio dydis [tex]S_2[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Tiesės [tex]y=a^n[/tex], [tex]y=g(x)[/tex] ir OY ašis riboja plotą, kurio dydis [tex]S_3[/tex].

1) Parodykite, kad: [tex]g(x)=n\cdot a^{n-1}x+a^n(1-n).[/tex]
2) Dydžiais [tex]a[/tex] ir [tex]n[/tex] išreikškite plotus [tex]S_1,\space S_2[/tex].
3) Įrodykite, jog: [tex]\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{2}{n-1}[/tex]
4) Žinoma, kad [tex]S_1=1,2[/tex],  [tex]S_3=2[/tex]. Raskite [tex]a[/tex] reikšmę.

1) Funkcijos [tex]y=f(x)[/tex] liestinės lygtis [tex]g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex].
[tex]f'(x)=n\cdot x^{n-1}[/tex]
[tex]f'(a)=n\cdot a^{n-1},\space f(a)=a^n[/tex]
[tex]g(x)=n\cdot a^{n-1}(x-a)+a^n=na^{n-1}x-na^n+a^n=na^{n-1}x+a^n(1-n).[/tex]
2) Tiesė [tex]y=g(x)[/tex] kerta OY ašį, kai x=0:
[tex]y=na^{n-1}\cdot 0+a^n(1-n)=a^n(1-n)[/tex]
[tex]C(0;a^n(1-n))[/tex]
[tex]BC=a^n-a^n(1-n)=a^nn,\space AB=a[/tex]
[tex]S_3=\dfrac{1}{2}\cdot a^nn\cdot a=\dfrac{1}{2}a^{n+1}n[/tex]
[tex]S_2=\int_0^a(a^n-x^n)dx=\left(a^nx-\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)\Biggr|_{0}^{a}=a^n\cdot a-\dfrac{a^{n+1}}{n+1}=a^{n+1}-\dfrac{a^{n+1}}{n+1}=\\=\dfrac{n}{n+1}\cdot a^{n+1}.[/tex]
[tex]S_1=S_3-S_2=\dfrac{1}{2}a^{n+1}n-\dfrac{n}{n+1}\cdot a^{n+1}=(\frac{1}{2}n-\frac{n}{n+1})a^{n+1}=\dfrac{n(n-1)}{2(n+1)}\cdot a^{n+1}[/tex]
3) [tex]\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{a^{n+1}n}{n+1}:\dfrac{a^{n+1}n(n-1)}{2(n+1)}=\dfrac{a^{n+1}n}{n+1}\cdot\dfrac{2(n+1)}{a^{n+1}n(n-1)}=\dfrac{a^{n+1}n\cdot 2(n+1)}{(n+1)\cdot a^{n+1}n(n-1)}=\dfrac{2}{n-1}.[/tex]
4) [tex]S_2=S_3-S_1=2-1,2=0,8.[/tex]
[tex]\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{2}{n-1}\implies \dfrac{0,8}{1,2}=\dfrac{2}{n-1}\implies \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{n-1}\implies n-1=3\implies n=4.[/tex]
Kai [tex]n=4[/tex], tai: [tex]S_3=\dfrac{1}{2}a^{n+1}n=\dfrac{1}{2}a^{4+1}\cdot 4=2a^5\implies 2a^5=2\implies a^5=1\implies a=1.[/tex]