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Logaritminio reiškinio reikšmė

Algebra Peržiūrų sk. (289)

1) Su kuria [tex]mažiausia[/tex]  [tex]x[/tex] reikšme  ( [tex]x∈Z[/tex] ) reiškinio  [tex]\log _3\left (\log _2\left ( 4-x^{2} \right ) \right )[/tex] reikšmė [tex]R[/tex]
2) Apskaičiuokite reiškinio [tex][/tex] [tex]\log _x[/tex][tex]_y[/tex][tex]z[/tex]  skaitinę reikšmę , kai [tex]\log _xz= 2[/tex] [tex];[/tex] [tex]\log _yz= 4[/tex] [tex];[/tex] ir [tex]x> 1[/tex][tex];[/tex] [tex]y> 1 ;[/tex] [tex]z> 1.[/tex]  3) Ispręskite lygtį  :  [tex]\log _3[/tex][tex]_x[/tex][tex]2[/tex][tex]=[/tex][tex]\log _2[/tex][tex]_x[/tex][tex]3[/tex]    4) Išspręskite lygtį [tex]\large :[/tex]  [tex]\large \log[/tex][tex]\large _\left (x+1 \right )[/tex][tex]\large ^{3}[/tex][tex]\large \frac{1}{4}[/tex][tex]\large =[/tex][tex]\large \frac{2}{3}[/tex]
5) Išspręskite nelygybę : [tex]2\log _x[/tex][tex]\left ( a+1 \right )[/tex][tex]<[/tex][tex]\log _x[/tex][tex]a[/tex][tex]^{2}[/tex] [tex],[/tex] kai [tex]a> 0[/tex][tex].[/tex]  6) [tex]a= \log _2[/tex][tex]\tan 4^{\circ}[/tex][tex]+\log _2[/tex][tex]\tan 6^{\circ}[/tex] [tex],[/tex]
[tex]b[/tex][tex]= \log _2\tan 86^{\circ}+\log _2\tan 84^{\circ}[/tex][tex].[/tex] Apskaičiuokite [tex]:[/tex] [tex]\frac{a}{b}[/tex] skaitinę  reikšmę [tex].[/tex] [tex] 7) Palyginkite[/tex] skaičius [tex]:[/tex]
[tex]\log _32[/tex]  ir  [tex]\frac{2}{3}[/tex]

pakeista prieš 1 m

Su kuria [tex]mažiausia\space  x[/tex] reikšme  ( [tex]x∈Z[/tex] ) reiškinio  [tex]\log_3(\log_2(4−x^2))[/tex] reikšmė  [tex]∈R[/tex]
[tex]\log_2(4-x^2)>0\implies \log_2(4-x^2)>\log_21\implies 4-x^2>1\implies x^2<3\implies |x|<\sqrt3\implies-\sqrt3<x<\sqrt3.[/tex]
Kai [tex]x∈\mathbb{Z}[/tex], tai mažiausia [tex]x[/tex] reikšmė, priklausanti intervalui [tex]-\sqrt3<x<\sqrt3[/tex] yra: [tex]x=-1[/tex].

Apskaičiuokite reiškinio  [tex]\log_{xy}z[/tex]  skaitinę reikšmę , kai [tex]\log_xz=2 ; \log_yz=4 ;[/tex] ir [tex]x>1; y>1; z>1[/tex].
Taikome formulę: [tex]\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}:[/tex]
[tex]\log_z x=\dfrac{1}{\log_x z}=\dfrac{1}{2};\space \log_z y=\dfrac{1}{\log_y z}=\dfrac{1}{4};[/tex]
[tex]\log_z(xy)=\log_zx+\log_zy=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.[/tex]
[tex]\log_{xy}z=\dfrac{1}{\log_{z}(xy)}=\dfrac{1}{\frac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}.[/tex]

3) Ispręskite lygtį  [tex]:  \log_{3x}2=\log_{2x}3[/tex]
Apibrėžimo sritis: [tex]\begin{cases}3x>0 \\ 2x>0\\3x≠1\\2x≠1 \end{cases}\implies x∈(0;\frac{1}{3})∪(\frac{1}{3};\frac{1}{2})∪(\frac{1}{2};+\infty)[/tex]
[tex]\log_{3x}2=\log_{2x}3\implies \dfrac{\ln2}{\ln(3x)}=\dfrac{\ln 3}{\ln(2x)}\implies \ln2\cdot \ln(2x)=\ln3 \cdot \ln(3x)\implies \\\ln2(\ln2+\ln x)=\ln3(\ln3+\ln x)\implies \ln^2 2+\ln2 \ln x=\ln^2 3+\ln 3 \ln x\implies \\ \ln2 \ln x-\ln 3\ln x=\ln^2 3-\ln^2 2\implies (\ln 2 - \ln 3)\ln x=(\ln 3 -\ln 2)(\ln 3+\ln 2)\implies \ln x=-(\ln 3+\ln 2)\implies \ln x=-\ln 6\implies \ln x=\ln 6^{-1}\implies x=6^{-1}=\dfrac{1}{6}.[/tex]
Atsakymas: [tex]\frac{1}{6}[/tex]

pakeista prieš 1 m

4) Išspręskite lygtį :  [tex]\log_{(x+1)^3}\frac{1}{4}=\frac{2}{3}[/tex]
Apibrėžimo sritis: [tex]\begin{cases}(x+1)^3>0 \\ (x+1)^3≠1 \end{cases}\implies \begin{cases}x>-1 \\ x≠0 \end{cases}\implies x∈(-1;0)∪(0;+\infty)[/tex]
[tex]\log_{(x+1)^3}\frac{1}{4}=\frac{2}{3}\implies ((x+1)^3)^\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\implies (x+1)^2=\frac{1}{4}\implies |x+1|=\frac{1}{2}\implies \\x+1=-\frac{1}{2}\space\textrm{ arba }\space x+1=\frac{1}{2}\implies x=-1,5\space\textrm{ (netinka dėl apibrėžimo srities) arba }\\ x=-0,5.[/tex]
Ats.: -0,5.

5) Išspręskite nelygybę[tex] : 2\log_x(a+1)<\log_xa^2[/tex] , kai [tex]a>0.[/tex]
[tex]2\log_x(a+1)<\log_xa^2\implies \log_x(a+1)^2<\log_xa^2[/tex]
Kai [tex]a>0[/tex], tai: [tex](a+1)^2>a^2[/tex], vadinasi: [tex]0<x<1.[/tex]
Ats.: [tex]x∈(0;1)[/tex].

6) [tex]a=\log_2\tan4^∘+\log_2\tan6^∘ ,b=\log_2\tan86^∘+\log_2\tan84^∘[/tex]. Apskaičiuokite : [tex]\frac{a}{b}[/tex] skaitinę  reikšmę .
[tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{\log_2\tan4^∘+\log_2\tan6^∘}{\log_2\tan86^∘+\log_2\tan84^∘}=\dfrac{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}{\log_2(\tan86^∘\cdot\tan84^∘)}=\dfrac{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}{\log_2(\tan(90^∘-4^∘)\cdot\tan(90^∘-6^∘))}=\dfrac{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}{\log_2(\cot4^∘\cdot\cot6^∘)}=\dfrac{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}{\log_2(\frac{1}{\tan4^∘}\cdot\frac{1}{\tan6^∘})}=\dfrac{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}{\log_2(\frac{1}{\tan4^∘\cdot\tan6^∘})}=\dfrac{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)^{-1}}=\dfrac{\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}{-\log_2(\tan4^∘\cdot\tan6^∘)}=-1.[/tex]

7)[tex]Palyginkite[/tex] skaičius : [tex]\log_32[/tex]  ir  [tex]\frac{2}{3}[/tex]
[tex]a=\log_3 2,\space b=\dfrac{2}{3}[/tex]
[tex]27^a=27^{\log_3 2}=(3^3)^{\log_3 2}=(3^{\log_3 2})^{3}=2^3=8.[/tex]
[tex]27^b=27^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9.[/tex]
[tex]8<9\implies 27^a<27^b\implies a<b\implies \log_3 2<\dfrac{2}{3}.[/tex]

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