Standartinė idėja yra išskaidyti šį ketvirto laipsnio daugianarį mažesnio laipsnio dauginamaisiais ir tuomet spręsti lygtis, prilyginus tuos dauginamuosius nuliui. Deja, iš karto nesimato kaip galime išskaidyti pradinį daugianarį (bent jau aš nematau).
Todėl gudrausime (sprendimas, kurį gausime, bus matematiškai nepriekaištingas, bet būdas, kaip jį rasime, bus ganėtinai neįprastas). Ieškome išskaidymo
[tex]x^4 + x^3 - 10x^2 + x + 1 = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f).[/tex]
Kadangi čia mokyklinis uždavinys, tikimės, jog yra "gražus" išskaidymas, tai yra toks, kad a, b, c, d, e ir f būtų sveikieji skaičiai.
Nagrinėkime pirmą variantą. Jei atskliaustume dešinę pusę, koeficientas prie x^4 būtų ae. Kairėje pusėje šis koeficientas yra 1, taigi ae = 1. Kadangi mes ieškome sveikų skaičių a ir e, tai arba a = e = 1, arba a = e = -1. Abu šie variantai yra lygiai tokie patys, todėl tariame, kad a = e = 1. Įstatę x = -f į dešinę pusę gauname 0, todėl ir kairė pusė su x = -f turi būti 0, taigi [tex]f^4 - f^3 - 10f^2 - f = -1.[/tex]
Matome, kad f būtinai dalina -1 (nepamirškime, kad ieškome sveiko f), todėl f = 1 arba f = -1. Tačiau nei x = 1, nei x = -1 nėra pradinės lygties sprendinys, todėl pirmasis variantas mums nieko gero nedavė.
Nagrinėkime antrąjį variantą:
[tex]x^4 + x^3 - 10x^2 + x + 1 = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f).[/tex]
Atskliaudę dešinę pusę matome, kad koeficientas prie x^4 yra ad, todėl ad = 1, todėl a = d = 1 arba a = d = -1. Abu šie variantai yra vienodi, todėl bandome a = d = 1. Atskliaudus dešinę pusę koeficientas be x yra cf, todėl cf = 1, taigi c = f = 1 arba c = f = -1. Šie variantai skirtingi (pasirinkus a = d = 1), todėl galime nagrinėti juos abu. Pirma nagrinėkime c = f = 1. Turime
Mes žinome iš savo samprotavimų, kad šitas išskaidymas teisingas, bet jei nematai, kodėl taip yra, tiesiog atsiskliausk dešinę pusę ir patikrink, kad gauname kairę pusę.
Taigi [tex]x^4 + x^3 - 10x^2 + x + 1 = 0,[/tex] kai [tex]x^2 + 4x + 1 = 0[/tex] arba [tex]x^2 - 3x + 1 = 0.[/tex] Čia yra dvi kvadratinės lygtis, kurias išspręsti nesunku.