eMatematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Lygties sprendinių skaičiaus intervale nustatymas


Kiek sprendinių intervale [tex]\left ( -\pi ; \pi \right )[/tex] turi  lygtis [tex]\left | \sin x \right |^{^{\cos x}}=2019[/tex] ?

Paskutinį kartą atnaujinta 2019-02-22

0

Jei $x$ yra šios lygties sprendinys, tai $-x$ taip pat yra sprendinys, taigi užtenka ieškoti sprendinių intervale $(0; \pi)$ (intervale $(-\pi; 0)$ sprendiniai bus tie patys, tik su minuso ženklu; be to $x=0$ nėra lygties sprendinys).

Nagrinėkim lygtį, kai $x\in(0; \pi)$. Šiame intervale $\sin{x}$ teigiamas, taigi perrašome lygtį be modulio: $(\sin{x})^{\cos{x}}=2019$. Logaritmuodami abi puses gauname $\cos{x}\ln(\sin{x})=\ln{2019}$. Kadangi $0<\sin{x}\leq 1$, tai $\ln(\sin{x})\leq 0$.

Jeigu $x\in(0; \frac{\pi}{2}\big]$, tai $\cos{x}\geq 0$, todėl šiuo atveju kairioji lygties pusė $\leq 0$, tuo tarpu $\ln{2019}>0$, vadinasi intervale $(0; \frac{\pi}{2}\big]$ sprendinių nėra.

Nagrinėkim lygtį, kai $x\in\big(\frac{\pi}{2}; \pi\big)$. Pažymėkim $f(x)=\cos{x}\ln(\sin{x})$. Turime, kad
\begin{gather*}
f'(x)=-\sin{x}\ln(\sin{x})+\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}}.
\end{gather*}
Pastebėkim, kad $f'(x)>0$, kai $x\in\big(\frac{\pi}{2}; \pi\big)$, taigi f-ja $f(x)$ nagrinėjamam intervale monotoniškai ir neaprėžtai didėja (turime, kad $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\cos{x}\ln(\sin{x})=\infty$). Be to $f(x)$ tolydi intervale $\big(\frac{\pi}{2}; \pi\big)$. Kadangi $0=f\big(\frac{\pi}{2}\big)<\ln{2019}<\infty$, tai $f(x)$ įgyja tarpinę reikšmę $\ln{2019}$ vieninteliame intervalo $\big(\frac{\pi}{2}; \pi\big)$ taške.

Prisiminę pastebėjimą, nuo kurio pradėjome, turim, jog intervale $(-\pi; \pi)$ yra du lygties sprendiniai.

0

Dėkui, gerb.Jadvyga! Puiku! 

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!