lygtis

[tex](x-4.5)^{4}+(x-5.5)^{4}=1[/tex] kaip geriausiai spresti sitokio tipo lygtis?

Dažnai sprendžiant tokias lygtis patogiausia atspėti sprendinius ir parodyti, kad daugiau sprendinių nėra.

Pirma įsiveskime keitinį t = x - 4.5. Nagrinėkime funkciją

f(t) = t^4 + (t - 1)^4 - 1.

Kad išspręstume lygtį, mes turime rasti visus t, su kuriais f(t) = 0. Du sprendinius atspėti lengva: t = 1 ir t = 0.

Norime parodyti, kad daugiau sprendinių nėra. Nagrinėkime f išvestinę:

f'(t) = 4t³ + 4(t - 1)³.

f' egzistuoja visuose taškuose, t.y. f yra visur diferencijuojama. Raskime taškus, kuriuose išvestinė lygi nuliui:

f'(t) = 0
t³ = -(t - 1)³
t = -t + 1
t = 1/2,

taigi f'(t) = 0, (jei ir) tik jei t = 1/2.

Naudosime Rolio teoremą, kuri sako, kad jei funkcija g (įgyjanti realias reikšmes) yra diferencijuojama intervale (a, b), ir g(c) = g(d) = 0 su kažkokiais a < c < d < b, tai g'(u) = 0 su kažkokiu c < u < d.

Jei f turėtų dar vieną nulį (t.y. jei f(t) = 0 su dar vienu t), tai pagal Rolio teoremą būtų bent dvi reikšmės t, su kuriomis f'(t) = 0, tačiau taip nėra. Taigi f gali turėti tik du sprendinius, ką ir norėjome įrodyti. Taigi pradinės lygties sprendiniai yra x = 4.5 ir x = 5.5.

Jei nežinai Rolio teoremos (ji nėra sudėtinga - tai viena pirmųjų matematinės analizės teoremų), gali "imituoti" ją. Žinai, kad f'(t) = 0 tik viename taške t = 1/2, taigi visuose taškuose t > 1/2, f'(t) yra arba vien teigiama, arba vien neigiama (bet nekeičia ženklo), todėl f(t) griežtai monotoniška, kai t > 1/2, taigi f gali turėti tik vieną nulį t > 1/2. Lygiai taip pat f gali turėti tik vieną nulį t < 1/2.

Siūlau neišsigąsti ilgo aprašymo. Argumentas yra labai paprastas ir greitas (pamatęs tinkamą uždavinį gali išspręsti jį per keletą sekundžių), tik gali reikti truputį pagalvoti, kad suprastum, kaip jis veikia.

Man atrodo jis dar nemoka išvestinių

Tai bėda jam :) Šiaip ne bėda, bet bjauriai spręst teks.

Vėl pažymime t = x - 4.5 ir norime išspręsti

t^4 + (t - 1)^4 - 1 = 0.

Atskliaudžiame:

t^4 + t^4 - 4t^3 + 6t^2 - 4t + 1 - 1 = 0
2t(t³ - 2t² + 3t - 2) = 0.

Vienas sprendinys yra t = 0. Kiti sprendiniai tenkina

t³ - 2t² + 3t - 2 = 0.

Kubinės lygties sprendinių formulės nežinome, bet galime bandyti išskaidyti dauginamaisiais. Dar pačioje pradžioje pastebėjome, kad t = 1 yra sprendinys (arba įstatę t = 1 dabar pastebime tą patį), todėl tikrai galime iškelti dauginamąjį t - 1:

t³ - 2t² + 3t - 2 = t²(t - 1) - t(t - 1) + 2(t - 1) = (t - 1)(t² - t + 2).

Taigi arba t = 1, arba t² - t + 2 = 0. Tačiau pastaroji lygtis yra kvadratinė, o jos diskriminantas 1 - 8 = -7 yra neigiamas, todėl ji neturi realių sprendinių.

Taigi vieninteliai sprendiniai yra t = 0 ir t = 1. Grįžtant prie x, sprendiniai yra x = 4.5 ir x = 5.5.

Galima šiek tiek pasilengvinti darbą ir neatskliaudinėti iš pradžių, o daryti taip:

t^4 + (t - 1)^4 - 1 = t^4 - 1 + (t - 1)^4
                              = (t^2 - 1)(t^2 + 1) + (t - 1)^4
                              = (t - 1)(t + 1)(t^2 + 1) + (t - 1)^4
                              = (t - 1)( (t + 1)(t² + 1) + (t - 1)³ )
                              = (t - 1)( t³ + t² + t + 1 + t³ - 3t² + 3t - 1 )
                              = (t - 1)(2t³ - 2t² + 4t)
                              = 2t(t - 1)(t² - t + 2)

ir pabaigti taip pat kaip anksčiau.

moku isvestines  bet as daryciau taip : ivesciau kintamaji [tex]y=\frac{x-4.5+x-5.5}{2}=x-5[/tex]
tada gaunu [tex](x-4.5)^{4}+(x-5.5)^{4}=(y-0.5)^{4}+(y+0.5)^{4}[/tex]
tada gaunasi [tex](y-0.5)^{4}+(y+0.5)^{4}=1[/tex]
arba  [tex](y-0.5)^{2}(y-0.5)^{2}+(y+0.5)^{2}(y+0.5)^{2}=1[/tex]
viska sudauginus gaunasi [tex](2y)^{4}+(3y)^{2}-0.875=0[/tex]
tada [tex]y^{2}=t[/tex]
[tex](2t)^{2}+(3t)-0.875=0[/tex]
[tex]t_{1}=0.25[/tex] ir [tex] t_{2}=-0.25[/tex]
[tex]y^{2}=0.25[/tex]
[tex]y_{1}=0.5[/tex] ir [tex]y_{2}=-0.5[/tex]
[tex]x_{1}=5-0.5=4.5[/tex] ir [tex]x_{2}=5+0.5=5.5[/tex]

Be abejo, tavo sprendimas puikus, tačiau jei moki išvestines, siūlyčiau pagalvoti apie pirmą siūlytą sprendimą. Ten reikia šiek tiek pagalvoti, kad suprastum, kas vyksta, bet užtat gali užrašyti labai paprastą ir trumpą sprendimą be jokių atskliaudinėjimų ar kitokių ilgų manipuliacijų.

na taip labiau pasigilinus su isvestine daug maziau darbo gaunasi :)