Matematikos darbo uždaviniai

po 2 sav. rasom matiekos darba.reikia man pasitikrinti ar gerai issprendziau.stai uzdaviniai

1.Įrodykite, kad visi skaičiai formos 1007, 10017, 100117, ... dalinasi iš 53.
2.Įrodykite, kad (n+1)(n+2)...2n = 2n• 1•3•5•...•(2n-1) su visais natūraliaisiais n.
3.Turime, kad a2+b2+c2 = 1. Įrodykite, kad -0,5 ≤ ab+bc+ca ≤ 1, kur a, b, c yra realieji skaičiai.

rodyk sprendimus

1. Naudosim matematinę indukciją.
Pažymėkim [tex]u_n=100\underbrace{11\ldots 1}\limits_{n}7[/tex].
Kai [tex]n=0[/tex], tai [tex]u_0=1007=53\cdot19[/tex].
Sakykim, skaičius [tex]u_k[/tex] dalijasi iš [tex]53[/tex], kai [tex]n=k[/tex]. Parodysim, kad jis irgi dalysis, kai [tex]n=k+1[/tex].
Pastebėkim, kad [tex]u_{k+1}=100\underbrace{11\ldots 1}\limits_{k+1}7=100\underbrace{11\ldots 1}\limits_{k}7+901\cdot10^{k+1}=u_k + 53\cdot17\cdot10^{k+1}[/tex].
Kadangi pagal prielaidą [tex]u_k[/tex] dalinasi iš [tex]53[/tex], tai [tex]u_{k+1}[/tex] irgi dalinasi iš [tex]53[/tex]. Taigi, [tex]u_n[/tex] dalinasi iš [tex]53[/tex] su visais neneigiamais sveikaisiais [tex]n[/tex]
2. Gali pabandyt su  indukcija, bet aš parodysiu kitokį sprendimo būdą.
Dvigubo faktorialo apibrėžimas: [tex](2n){!!}=2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot2n[/tex] ir [tex](2n-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)[/tex].
Aišku, kad [tex](2n)!!(2n-1)!!=(2n)![/tex] ir [tex]2^{n}\cdot n!=\underbrace{2\cdot2\ldots\cdot2}\limits_{n}\cdot 1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n=2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot2n=(2n)!![/tex], todėl [tex](n+1)\cdot(n+2)\cdot(n+3)\cdot\ldots\cdot2n=\frac{(2n)!}{n!}=\frac{(2n)!!(2n-1)!!}{n!}=2^n\cdot(2n-1)!!=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdot(2n-1)[/tex].
3.[tex](a-b)^{2}\geq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab\\b^{2}+c^{2}\geq 2bc\\c^2+a^2\geq2ac[/tex].
Sudėję visas tris nelygybes ir padalinę iš dviejų gaunam, kad
[tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex].
Taip pat, [tex]0\leq(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Rightarrow -\frac{1}{2}\leq ab+bc+ca [/tex].
Taigi, [tex]-\frac{1}{2}\leq ab+bc+ca\leq 1[/tex].

Vat padėkok mūsų šauniajam 10tokui. :D