eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Matematikos Maratonas Nr. 1


oks ;]
Tarkim bent vienas iš narių lygus nuliui, tada sprendiniai yra (0,x,-x) su betkokiu sukeitimu vietomis
WLOG: a>0 b>0 c<0
tada gauname a^2011+b^2011=(-c)^2011
visi trys nariai: a, b, -c yra natūralūs skaičiai, todėl pagal Last Fermat teoremą sprendinių nėra.
Ats: (0,x,-x) betkokia eilės tverka

Naujas uždavinys:
Iškilojo keturkampio ABCD kraštinės AB ir CD nėra lygiagrečios bei AB = CD.
Keturkampio įstrižainių AC ir BD vidurio taškus pažymėkime atitinkamai E ir F. Tiesė
EF kerta atkarpas AB ir CD atitinkamai taškuose G ir H. Įrodykite, kad kampasAGH = kampasDHG
Sėkmės! :)

Tegul AB ir CD kertasi taske O. Tegul O buna arciau A ir D negu B ir C.
Reikia irodyti, kad OG=OH, tada OGH lygiasonis trikampis.
Galima irodyti, kad
2 OG=2 OH=OA+OC=OD+OB.

Pritaike logoritmu savybe gauname:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?log_2%20(tan1*tan2*...*tan89)

Taip pat zinant kad:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?tan1*tan89=tan2*tan88=1

Gauname:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?log_2%201%20=%200

Mano uzdavinukas:

Irodyti kad,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{a+b}{2}\geq%20\sqrt{ab}

Oi sunkiai man jis sprendžiasi, Išsireiškiu  z=√(x^2 + y^2), žinom kad, x+y+z=P=S, o S skaičiuojant pagal Herono formule įsiveliu į nežmogiškus reiškinius kurių nesugebu išspręsti, gal užvestum ant kelio? :)

Mhm, susidariau tokią lygtį (lyginant S ir P):

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{x^2+y^2}%20+%20x%20+%20y%20=%20\frac{xy}{2}

Pertvarkius gaunam:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{x^2+y^2}%20=%20\frac{xy}{2}%20-%20(x+y)

Is čia matom kad,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?xy%20\geq%202(x+y)

Tyrimo-spėjimo būdu gaunu (12; 5; 13), (5; 12; 13), aisku (0; 0; 0). Bet greičiausiai ne viskas, ir blogiausia kad šitaip nežinai kiek tų trejetų turi būt.

Edit: Iš lygties galima išsireikšti kad:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y%20=%20\frac{4(x-2)}{x-4}

x > 4, nes x>0 ir y> 0

Atsiimu atsakymą (0; 0; 0) ir pridedu: (6; 8; 10) ir (8; 6; 10). Ir manau daugiau atsakymų nėra. Na gal ne toks sprendimas kokio tikėjaisi, bet padariau ką galiu :) Būtu smagu pažiūrėt kaip pats spręndi

pakeista prieš 13 m

Atskliaudžiam, suprastinam:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(xy)^2%20+%20xy%20=%203x^2y%20+3xy^2

Galima padalinti iš xy:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?xy+1=3x+3y

Sukeliam į vieną pusę:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?xy-3x-3y+1=0

Pasirašom papildomą +8 - 8 ir galim viską sutraukti (kaip jau išmokau praeitam uždavinį) :)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x-3)(y-3)=8

Kaip praeitam uždavinį reikia daugint, skirtumas tik tas kad šį kart tinka ir neigiami skaičiai.

http://latex.codecogs.com/gif.latex?8=%3E%201*8%20=%202*4%20=%204*2=8*1=(-1)(-8)=(-2)(-4)=(-4)(-2)=(-8)(-1)

Reik spręsti 8 sistemas:

I) x-3=1; y-3=8

x = 4
y = 11

II) x-3=2; y-3=4
x=5
y=7
...


Atsakymai: (4; 11), (5;7) (7; 5), (11; 4), (-5; 2), (2; -5), (-1; 1); (1; -1), na jei nepadariau klaidos kur tai šitie :)

pakeista prieš 13 m

Ir mano uždavinukas:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{7+\sqrt{48}}^x%20+%20\sqrt{7-\sqrt{48}}^x%20=%2014

čia x pakeltos didžiosios šaknys. Sėkmės :) Atsakymai gražūs skaičiai :)

pakeista prieš 13 m

tai nesiteiki manosios issprest :/

Šioje temoje naujų pranešimų rašymas yra išjungtas!