Matematikos Maratonas Nr. 1

bachukasDar įrodyk, kad [math]{C^k}_{2^n-1}[/math] yra nelyginis :)

Aš tai norėjau, kad tu pats įdėtum tą įrodymą, nes tu parašei didžiąją dalį sprendimo :)

Aš tai įrodau kiek kitaip:
[math]C^k_{2^n-1}={(2^n-1)(2^n-2)...(2^n-k)}/{1*2*...*k}[/math]

Dabar belieka įrodyti, kad didžiausias dvejeto laipsnis iš kurio dalinasi m lygus didžiausiam dvejeto laipsniui iš kurio dalinasi [math]2^n-m[/math].
Tai yra nesunku:
pažymėkime [math]m=a*2^b[/math] (a- nelyginis skaičius)
Tada
[math]2^n-m=2^b(2^{n-b}-a)[/math]
Kadangi antri dešinės pusės skliaustai nelyginiai (turint omeny, kad a- nelyginis bei b<n), tai [math]2^n-m[/math] dalinasi iš [math]2^b[/math] ir nesidalina iš [math]2^{b+1}[/math]. Įrodyta.

Tavo uždavinio sprendimas:
Nuspalvintų langelių perimetrą pažymėkime P. Aišku, kad po operacijos P arba sumažėja arba nepasikeičia, todėl P_pradinis≥P_galutinis.

Kadangi iš pradžių buvo nuspalvinta n-1 langelis, tai P_pradinis≤4(n-1)
Jei būtų galima nuspalvinti visus langelius, tai P_galutinis=4n, tačiau tai neįmanoma, nes tokiu atveju gautumėme P_pradinis<P_galutini.

Ats.: negalima

Naujas užd.:
N yra natūralusis skaičius, kurio visus daliklius pažymėkime [math]d_1,d_2,...,d_k[/math] (k≥4)
[math]1=d_1<d_2<...<d_k=N[/math]

Išspręskite lygtį:
[math]N={d_1}^2+{d_2}^2+{d_3}^2+{d_4}^2[/math]

Jeigu N nelyginis, tai visi jo dalikliai taip pat nelyginiai. Tokiu atveju {d_1}^2+{d_2}^2+{d_3}^2+{d_4}^2 būtų lyginis, o tai prieštara.Taigi N - lyginis, d_2=2, o N=5+{d_3}^2+{d_4}^2. Be to, d_3 ir d_4 turi būti skirtingų lyginumų.

{d_3}^2+{d_4}^2 lygsta 1 (mod 4) => N lygsta 2 (mod 4), todėl 4 nedalina N.
Jei d_3 sudėtinis, tai egzistuoja pirminis nelygus 2, kuris dalina N. Bet vienitėlis daliklis mažesnis už d_3 yra 2. Todėl d_3 pirminis, o d_4=2*d_3.
N=5(1+{d_3}^2) ir 5 dalina N.

a) Jei d_3=3, tai N=50, bet 50 nesidalina iš 3.
b) Kitu atveju d_3=5, tai N=130.

N=130, d_1=1, d_2=2, d_3=5, d_4=10

Uždavinys: Įrodykite, kad 20 žmonių grupėje visada galima rasti arba 4 tarpusavyje pažįstamų, arba 4 tarpusavyje nepažįstamų žmonių pogrupį.

vardasJeigu N nelyginis, tai visi jo dalikliai taip pat nelyginiai. Tokiu atveju {d_1}^2+{d_2}^2+{d_3}^2+{d_4}^2 būtų lyginis, o tai prieštara.Taigi N - lyginis, d_2=2, o N=5+{d_3}^2+{d_4}^2. Be to, d_3 ir d_4 turi būti skirtingų lyginumų.

{d_3}^2+{d_4}^2 lygsta 1 (mod 4) => N lygsta 2 (mod 4), todėl 4 nedalina N.
Jei d_3 sudėtinis, tai egzistuoja pirminis nelygus 2, kuris dalina N. Bet vienitėlis daliklis mažesnis už d_3 yra 2. Todėl d_3 pirminis, o d_4=2*d_3.
N=5(1+{d_3}^2) ir 5 dalina N.

a) Jei d_3=3, tai N=50, bet 50 nesidalina iš 3.
b) Kitu atveju d_3=5, tai N=130.

N=130, d_1=1, d_2=2, d_3=5, d_4=10

Uždavinys: Įrodykite, kad 20 žmonių grupėje visada galima rasti arba 4 tarpusavyje pažįstamų, arba 4 tarpusavyje nepažįstamų žmonių pogrupį.

O aš galvojau, kad tortai yra vyriškosios giminės atstovai :D

Čia reikia įrodyti, kad neegzistuoja tokia funkcija, tenkinanti nelygybę su visomis realiomis x ir y reikšmėmis?

bachukasO aš galvojau, kad tortai yra vyriškosios giminės atstovai :D

Čia reikia įrodyti, kad neegzistuoja tokia funkcija, tenkinanti nelygybę su visomis realiomis x ir y reikšmėmis?

Nu niekaip neišeina.. :/

Hm, na gal šiandien dar kažkas pabando, jei ne, ryt sprendimą parašysiu ;)

Ok :)