Matematikos Maratonas Nr. 1

Naujas uždavinys (pažadu, lengvesnis už praeitą ;))

funkcija (iš natūraliųjų į natūraliuosius) tenkina f(n+1)>f(f(n)) visiems natūraliesiems n. Įrodykite, kad f(n)=n.

Hm, čia niekas nesprendžia ar niekas neišsprendžia? ;)

Šios funkcijos reikšmių srities reikšmes nuo mažiausios vadinkime d1 ; d2 ; d3 ... didėjimo tvarka.
Įrodysiu, kad f(1)=d1 ir šią reikšmę igyja tik su f(1). Taip pat f(1)≥1.
Tarkime priešingai, egzistuoja toks m>1 , kad f(m-1+1)> f(f(m-1)) ir iš karto gauname prieštarą, nes atsiranda tokia funkcijos reikšmė, kad  f(m) nebėra pati mažiausia funkcijos reikšmė.
Pagal indukciją įrodysiu, kad jei su visais m<k galioja f(m)=dm ir dm įgyjama tik su f(m), tada ir su f(k)=dk ir  dk įgyjama tik su f(k):
Pastebėkime, kad f(m)≥m ir
Tarkime priešingai, f(k+a)>f(f(k+a-1)) su a>1 tačiau gauname prieštarą, nes f(k+a-1) pagal indukcijos sąlygas yra didesnis už k (mažesnės fukcijos reikšmės nei k jau indukcijos pradinėje sąlygoje buvo pavadintos d1, d2 ir t.t. ir jos visos yra mažesnės nei k ir yra įgyjamos tik po vieną kartą) ir tada jo reikšmė yra didesnė nei k,  tarkime ji yra k+b, tada f(k+a)>f(k+b)  o visos funkcijų reikšmės mežesnes už f(k+a) yra su mažesniu argumentu nei k, nes f(k+a)=dk.
Is šitos indukcijos gauname, kad funkcija yra didėjanti. Jei atsirastų toks n, kad f(n)>=n+1 tada f(f(n))≥f(n+1) ir išeina, kad f(n+1)>f(n+1). Taigi, tokių n, neatsiras, todėl f(1)=1 => f(2) => ir vėl pagal indukciją f(n)=n.

Tikiuosi nieko nepridirbau..

Na, turbūt man laikas dėt:
(a(b+1))^(-1) + (b(c+1))^(-1) + (c(a+1)^(-1) ≥ 3: (1+abc) su visais a,b,c>0 ir ai6ku a,b,c priklauso realiesiems.
Beje, bachuk, tavo matematikos maratono ideja labai gera, aciu :)

Čia ne visai mano idėja, tokius maratonus galima rasti www.mathlinks.ro. Sugalvojau, kad tokių maratonų reikia ir lietuviškuose puslapiuose :)

Kažkaip keistai čia nelabai kas sprendžia...
Na, šiaip ar taip, parašysiu savo sprendimą tada ;)

Padauginam abi puses iš 1+abc ir iš kiekvienos trupmenos atimam po 1, taip gaunam nelygybę:
∑(1+abc-ab-a)/(a(b+1))≥0;

1+abc-ab-a=a(bc-1)-(ab-1), todėl ∑(1+abc-ab-a)/(a(b+1))=∑(bc-1)/(b+1)-(ab-1)/(a(b+1));

o tai ekvivalentu nelygybei ∑(ab-1)(1/a+1-1/(a(b+1)))=∑(ab-1)(ab-1)/a(a+1)(b+1), o tai jau aiškiai neneigiamas dydis, taigi ir įrodėm ką norėjom =D

Nu čia jau bus visai lengvas, gal net per daug, bet tiek to ;)

Turime ketvirto laipsnio daugianarį P(x), kurio koeficientas prie x^4 yra 1. Duota, kad P(1)=10, P(2)=20, P(3)=30. Raskite P(12)+P(-8).

Aš tai pastarąją nelygybę bandžiau spręsti, bet sugalvojau dauginti iš [math]abc(a+1)(b+1)(c+1)[/math] kaip koks idiotas, o ne iš abc+1 :D

Pazymekime P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d

Turime
1+a+b+c+d=10, (1)
16+8a+4b+2c+d=20 (2)
81+27a+9b+3c+d=30 (3)

Reikia rasti
[math]12^4+12^3a+12^2b+12c+d+8^4-8^3a+8^2b-8c+d=1216a+208b+4c+2d+24832[/math]

(1) ir (3) lygtis padauginam iš 100, (2) lygtį padauginam iš -198, viską sudedam, gaunam

1216a+208b+4c+2d=-4992

Taigi 1216a+208b+4c+2d+24832=-4992+24832=19840

Naujas uždavinys (mano sugalvotas):
Raskite kiek yra stačiųjų trikampių, kurių kraštinių ilgiai sveikieji skaičiai, o perimetras lygus 6^n (n-natūralusis skaičius). Atsakymą išreikškite vienetais per n.

Kaip matau, tema ne tik, kad puiki, bet tiesiog labai reikalinga ir be galo įdomi. Padėka bachukui :)

Pastaruoju metu buvo susidaręs vaizdas, kad pagrinde vyrauja "simple" mokykliniai uždaviniai, na kartais aukštosios matematikos uždaviniai. Bet pastaroji tema parodė, kad yra nemažai moksleivių ir studentų, besidominančių olimpiadinių uždavinių metodika.
Kad pasiekti dar geresnių rezultatų, t.y. nauji ir įdomūs įvairūs uždaviniai, nauji gabūs nariai, nauji sprendimai, naujos metodikos, kurios pravers manau ne vienam iš jūsų, galima padaryti šiokį tokį forumo patobulinimą.

Štai ką siūlau:

Dabartinė tema yra gera, bet galima sukurti atskirą kategoriją, skirtą tik matematikos maratonui ir jame kurti temas (kiekvienoje temoje po užduotį, taip bus labai patogu rasti norimą informaciją).

Gal kai kurie mano, kad ir viena tema su tęsiniu yra gerai, bet gal atskiros temos visiems uždaviniams ir komentarams būtų dar geriau?

Pagrindinį forumo puslapį truputelį patobulint ir padaryt galimybę matyti olimpiadinio tipo užduotį pagrindiniame lange. Kam to reikia? Manau nekiekvienas gal ir pastebi tokias temas, todėl iškėlimas būtų pat tas.

Laukiu jūsų nuomonių, kritikos, o gal ir savo idėjų.

Aš manau, kad kategorijoje turėtų būti daugiau maratonų, tokių kaip algebros maratonas, geometrijos maratonas, kombinatorikos maratonas, skaičių teorijos maratonas :) Bet tada kiekvienam maratonui būtų po vieną besitęsiančią temą :)
O pagrindiniame lange galėtų būti matomas būtent šio maratono naujausias uždavinys, bet nežinau kaip tu tai padarytum, kad nebūtų painiavos :)