Matematikos Maratonas Nr. 3

Matematikos maratono taisyklės:
• Žmogus išsprendęs uždavinį turi įdėti naują.
• Turi būti parašyti sprendimai, formulės, nubrėžti reikalingi grafikai, o ne vien parašyti atsakymai.
• Kadangi čia olimpiadų skiltis, todėl uždaviniai turi būti sudėtingi, reikalaujantys žinių.
• Jeigu uždavinio niekas neįveikia per tris dienas, sprendimą pateikia autorius.
• Jei autorius po trijų dienų nepateikia sprendimo, tai naują uždavinį gali įkelti bet kas norintis.

Temos užvedimui, pateikiu pirmąją maratono užduotį. Apskaičiuokite duotojo reiškinio sumą:
[tex]\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 13}+...+\frac{1}{(4n-3)\cdot (4n+1)}[/tex]

Pažymime:
[tex]S_{n}=\dfrac{1}{1\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 9}+\dfrac{1}{9\cdot 13}+...+\dfrac{1}{(4n-3)\cdot (4n+1)}[/tex]
Tada:
[tex]4S_{n}=\dfrac{4}{1\cdot 5}+\dfrac{4}{5\cdot 9}+\dfrac{4}{9\cdot 13}+...+\dfrac{4}{(4n-3)\cdot (4n+1)}[/tex]
[tex]4S_{n}=(1-\dfrac{1}{5})+(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{9})+(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{13})+...+(\dfrac{1}{4n-3}-\dfrac{1}{4n+1})[/tex]

Atkreipkime dėmesį, jog sumoje susiprastina kone visi nariai ir lieka tik:
[tex]4S_{n}=1-\dfrac{1}{4n+1}[/tex]
Padaliję visą lygybę iš 4 gauname:
[tex]S_{n}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4(4n+1)}=\dfrac{n}{4n+1}[/tex]
Tai yra duotojo reiškinio sumos formulė pagal n. Iš sąlygos tik nesupratau ar šią sumą reikia paskaičiuoti, kai n artėja į begalybę, jei taip, tai atsakymas:
[tex]\lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{4n+1}=\dfrac{1}{4}[/tex]

P.S. Kaip suprantu prieš keliant savo užduotį turėčiau sulaukti patvirtinimo, jog mano sprendimas yra teisingas, taip manau būtų teisingiausia.

Viskas teisingai :) Gali kelti kitą.

Užduotis:
Duotas lygiagretainis ABCD. Žinoma, kad taškas M yra kraštinės BC, o taškas N kraštinės CD vidurio taškas, be to, DM⊥AC. Įrodykite, kad tada BN:CD=3:2

Gaila, jog niekas neįveikė mano pateiktos užduoties net ir po mano patarimo, kuris buvo užrašytas temoje "Vektorių galia". Taigi šio uždavinio sprendimas būtų toks:

Įvedame vektorius [tex]\vec{a}=\vec{BN}[/tex] ir [tex]\vec{b}=\vec{CD}[/tex]. Šiais vektoriais išreikškime vektorius [tex]\vec{OD}[/tex] ir [tex]\vec{OC}[/tex].
Pirmiausiai atkreipkime dėmesį į tai, jog nubrėžę įstrižainę BD gauname trikampį BDC, kur taškas O yra pusiaukraštinių susikirtimo taškas. Pagal pusiaukraštinės savybę (kuri sako, jog pusiaukraštinės kertasi taip, jog viena kitą dalija santykiu 2:1 nuo viršūnės) turime, kad:
[tex]\vec{ON}=\frac{1}{3}\vec{a}[/tex]
Kadangi [tex]\vec{NC}=-\frac{1}{2}\vec{b}[/tex], tai:
[tex]\vec{OC}=\vec{ON}+\vec{NC}=\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}[/tex]
Tuo tarpu [tex]\vec{ND}=\frac{1}{2}\vec{b}[/tex], tai:
[tex]\vec{OD}=\vec{ON}+\vec{ND}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}[/tex]
Kadangi vektoriai [tex]\vec{OD}[/tex] ir [tex]\vec{OC}[/tex] yra statmeni, tai jų skaliarinė sandauga lygi 0, todėl užrašome:
[tex]\vec{OD}\cdot \vec{OC}=(\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})(\frac{1}{3}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b})=0[/tex]
Atskliaudę gauname:
[tex]\frac{1}{9}\vec{a}^2-\frac{1}{4}\vec{b}^2=0[/tex]
[tex]\frac{1}{9}\vec{a}^2=\frac{1}{4}\vec{b}^2 [/tex]
[tex]\frac{1}{9}|\vec{a}|^2=\frac{1}{4}|\vec{b}|^2 [/tex]
[tex]\frac{1}{3}|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\vec{b}| [/tex]
Iš čia:
[tex]\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}=\dfrac{3}{2}[/tex]
Arba:
[tex]BN:CD=3:2[/tex]
Įrodyta!.
Kitą uždavinį (pasistengsiu lengvesnį) įkelsiu šiek tiek vėliau :)

Tikiuosi šį uždavinį kas nors įveiks (nesinorėtų man pačiam įkelti ir išspręsti užduočių):
Viename krepšelyje sudėti obuoliai ir kriaušės. Žinoma, jog kriaušių yra mažiau nei obuolių. Jeigu esama kriaušių skaičių padidinsime du kartus, tai bendras vaisių skaičius krepšelyje būtų didesnis už 24, o jeigu padvigubintume obuolių skaičių, tai bendras vaisių skaičius būtų mažesnis už 27. Raskite obuolių ir kriaušių skaičių krepšelyje.

x - obuoliai, y - kriaušės
Iš sąlygų turime: x>y, 2y+x>24, 2x+y<27.
Toliau 24<2y+x<2x+x=3x => 8<x. Analogiškai y<9.
Toliau 24<y+y+x<x+x+y<27. Gaunam 24<2y+x<27, 24<2x+y<27.
Sudedam nelygybes 24<2y+x ir 8<x => 32<2x+2y =>16<x+y. Analogiškai x+y<18.
Gavome 16<x+y<18. Kadangi x+y sveikas skaičius, tai x+y=17.
Toliau 24<x+y+y<27 =>24<17+y<27 =>7<y<10 arba, pasinaudojus y<9, 7<y<9. Kadangi y sveikas skaičius, tai y=8.
Analogiškai x=9.

Atsakymas teisingas. Gali kelti savo užduotį.

Kartą vienas žmogus nusipirko dvi dežutes degtukų ir pasidėjo jas sau į kišenę. Po to kaskart, kai jam prireikdavo uždegti degtuką, jis atsitiktinai ištraukdavo vieną iš dviejų dežučių. Praėjus tam tikram laiko tarpui, ištraukęs vieną iš dežučių, žmogus pastebėjo, kad ji tuščia. Kokia tikimybė, kad antroje dežutėje tuo metu liko k degtukų, jei naujoje dežutėje buvo n degtukų.