Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 1 ***

Sąlyga.

Jonaitis nuosava mašina plentu važiavo pastoviu greičiu. Kabinoje greta sėdėjo jo duktė. „Tu pastebėjai, - paklausė jis, - kad palei plentą medžiai pasodinti vienodu atstumu? O kokiu?“
Duktė pažvelgė į laikrodį ir suskaičiavo, kiek medžių per vieną minutę pralėkė pro langą. „Koks sutapimas! – sušuko Jonaitis. – Jeigu šį skaičių padauginsime iš 10, tai gausime mūsų mašinos greitį kilometrais per valandą“.
Sakykim, mašinos greitis pastovus, tarp medžių vienodi tarpai, o dukters pasirinkta minutė prasideda ir baigiasi tuo momentu, kai mašina yra ties atstumo tarp dviejų medžių viduriu. Koks šis atstumas?

[spoiler]
Sprendimas.

Tarkim x - atstumas tarp 2 medžių, y - kiek medžių pravažiavo per minutę.
Jei medžių skaičiavimas prasidėtu ir pasibaigtu ties medžiu, nuvažiuotas atstumas butu
[tex]s=(y-1)x[/tex],
bet kadangi medžius pradėjo ir pabaigė skaičiuoti ties medžiu atstumo viduriu, tai prie nuvažiuoto kelio prisideda dar vienas atstumas x, tad atstumas yra lygus
[tex]s=(y-1)x+x=x(y-1+1)=xy[/tex]
Iš sąlygos:
[tex]v=10y[/tex]
[tex]t=\frac{1}{60}[/tex]
Įsistatom viską į kelio formulę [tex]s=vt[/tex]
[tex]xy=\frac{10y}{60}[/tex]
Padalinam abi lygties puses iš y ir gaunam
[tex]x=\frac{1}{6}km=166,(6)m[/tex]

Ats.: [tex]\frac{1}{6}km[/tex]


Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys valdas3.

Panašų sprendimą (taip pat teisingą), kurį galite pamatyti šioje temoje - 6 žinutė, pasiūlė kitas forumo dalyvis Taksas027.

Ačiū Jiems :)
[/spoiler]

__|____|____|.....|____|__

tarkim suskaičiavo x medžių
ir važiuoja greičiu
[tex]v\text{ km/h} = \frac{1000}{60}v\text{ m/min}=\frac{50}{3}v\text{ m/min}[/tex]
iš sąlygos
[tex]10x=v\text{ km/h}=\frac{50}3v\text{ m/min}[/tex]
[tex]x=\frac53v\text{ m/min}[/tex]
o per vieną minutę nuvažiuoja s atstumą
[tex]s=\frac{50}3v\cdot1=\frac{50}3v[/tex]
kadangi pradėjo/baigė skaičiuot medžius tarp medžių vidurio tiesiog reik padalint atstumą iš medžių skaičiaus ir rasime atstumą y tarp medžių
[tex]y=\frac sx=\frac{50}3v\div\frac53v=\frac{50}3v\cdot\frac3{5v}=10[/tex]
y=10metrų
ar ne? :D

Pirmasis bandymas, šaunu ir džiugu :)
Bet atsakymo dar nesakysiu, nesakysiu ir ar ta linkme spręsta.
Galbūt atsiras kitaip mąstančių ar net kitą atsakymą gavusių.

Sėkmės ;)

Atsakymas netesingas.
Bandykite dar kartą :)

taip sutinku kad neteisingai :D

__|____|____|.....|____|__

tarkim suskaičiavo x medžių
ir važiuoja greičiu
[tex]v\text{ m/min} = \frac{60}{1000}v\text{ km/h}=0.006v\text{ km/h}[/tex]
iš sąlygos
[tex]10x=v\text{ km/h}=0.006v\text{ km/h}[/tex]
[tex]x=0.0006v\text{ m/min}[/tex]
o per vieną minutę nuvažiuoja s atstumą
[tex]s=v\cdot1=v[/tex]
kadangi pradėjo/baigė skaičiuot medžius tarp medžių vidurio tiesiog reik padalint atstumą iš medžių skaičiaus ir rasime atstumą y tarp medžių
[tex]y=\frac sx=v\div0.0006v=\frac1{0.0006}=166\frac23[/tex]
[tex]y=166\frac23\text{ m}[/tex]


va toks (atrodo) turėtų būt, nes ten su vienetais ne taip padariau

Na mano sprendimas panašus į Takso, bet kadangi pradėjau rašyti, kai dar naujojo sprendimo nebuvo, tai vis tiek papostinsiu :) .
Tarkim x - atstumas tarp 2 medžių, y - kiek medžių pravažiavo per minutę.
Jei medžių skaičiavimas prasidėtu ir pasibaigtu ties medžiu, nuvažiuotas atstumas butu [tex]s=(y-1)x[/tex], bet kadangi medžius pradėjo ir pabaigė skaičiuoti ties medžiu atstumo viduriu, tai prie nuvažiuoto kelio prisideda dar vienas atstumas x, tad atstumas yra lygus [tex]s=(y-1)x+x=x(y-1+1)=xy[/tex]
Iš sąlygos:
[tex]v=10y[/tex]
[tex]t=\frac{1}{60}[/tex]
Įsistatom viską į kelio formulę [tex]s=vt[/tex]
[tex]xy=\frac{10y}{60}[/tex]
Padalinam abi lygties puses iš y ir gaunam
[tex]x=\frac{1}{6}km=166,(6)m[/tex]

Kiek atsimenu, atsakymas 1/6 km. Turbūs abu būsite teisingai apskaičiavę :)

Peržiūrėjus abiejų sprendimus, pirmenybę teikčiau valdas3 sprendimui.
Kaip Jūs manote?

Nors atsakymą jau išsiaiškinome, bet gal atsiras tokių, kas sugalvos genialesnį sprendimą.
Juk, kaip sakoma, tobulumui ribų nėra!