ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 10 ***

Olimpiados Peržiūrų skaičius (3597)

Sąlyga.

Lygiagretainio ABCD kraštinėje BC pažymėtas toks taškas K, kad BK:KC=2:3, o kraštinėje CD toks taškas L, kad DL:LC=3:5. Tiesės DK ir BL susikerta taške M. Raskite santykį DM:MK.

[spoiler]
Sprendimas.

BK=2x, KC=3x, CL=5y, LD=3y. Kraštinėje CD pažymėkim tokį tašką E, kad CE=3y. Trikampiai CKE ir CBL panašūs , todėl KE \parallel ML ir dėl to trikampiai DML bei DKE taip pat panašūs. Taigi DM/3y=(DM+MK)/5y. Iš čia 3MK=2DM ir DM:MK=3/2=1,5

Ats.: DM:MK=3:2

Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys lukasm.
Ačiū Jam!
[/spoiler]

Paskutinį kartą atnaujinta 2012-04-10

0

BK=2x, KC=3x, CL=5y, LD=3y. Kraštinėje CD pažymėkim tokį tašką E, kad CE=3y. Trikampiai CKE ir CBL panašūs , todėl KE [tex]\parallel[/tex] ML ir dėl to trikampiai DML bei DKE taip pat panašūs. Taigi DM/3y=(DM+MK)/5y. Iš čia 3MK=2DM ir DM:MK=3/2=1,5

0

luskasm sprendimas tiesiog puikus!
Prie viso šio gėrio norėčiau paviešinti dar vieną sprendimo būdą, kurį, be abejo kiekvienam pagal skonį, bet manau, kad daugelis paliktų antrojoje vietoje :)

Sprendimas.

Pasirenkame koordinačių sistemą (C,B,D). Tada taškų C, B ir D koordinatės yra:
[tex]C(0;0)[/tex], [tex]B(1;0)[/tex], [tex]D(0;1)[/tex].
Akivaizdu, kad
[tex]\vec{CK}=\frac{3}{5}\vec{CB}[/tex] ir [tex]\vec{CL}=\frac{5}{8}\vec{CD}[/tex]
todėl taškų K ir L koordinatės yra
[tex]K(\frac{3}{5};0)[/tex], [tex]L(0;\frac{5}{8})[/tex].
Tiesių Bl ir DK lygtys yra atitinkamai tokios:
[tex]5x+8y-5=0[/tex] ir [tex]5x+3y-3=0[/tex].
TaŠko M koordinates
[tex]M(\frac{9}{25};\frac{2}{5})[/tex]
randame išsprendę lygčių sistemą
[tex]\begin{cases} 5x+8y-5=0 \\ 5x+3y-3=0\end{cases}[/tex].
Apsakičiuojame vektrių DM ir MK koordinates:
[tex]\vec{DM}\{\frac{9}{25};-\frac{3}{5}\}[/tex] ir [tex]\vec{MK}\{\frac{6}{25};-\frac{2}{5}\}[/tex].
Kadangi
[tex]\vec{DM}=\frac{3}{2}\vec{MK}[/tex],
tai
[tex]DM:MK=3:2[/tex].

Ats.: DM:MK=3:2

0

lukasmBK=2x, KC=3x, CL=5y, LD=3y. Kraštinėje CD pažymėkim tokį tašką E, kad CE=3y. Trikampiai CKE ir CBL panašūs , todėl KE [tex]\parallel[/tex] ML ir dėl to trikampiai DML bei DKE taip pat panašūs. Taigi DM/3y=(DM+MK)/5y. Iš čia 3MK=2DM ir DM:MK=3/2=1,5


O kodel CKE ir CBL panašūs?

0

zero666
lukasmBK=2x, KC=3x, CL=5y, LD=3y. Kraštinėje CD pažymėkim tokį tašką E, kad CE=3y. Trikampiai CKE ir CBL panašūs , todėl KE [tex]\parallel[/tex] ML ir dėl to trikampiai DML bei DKE taip pat panašūs. Taigi DM/3y=(DM+MK)/5y. Iš čia 3MK=2DM ir DM:MK=3/2=1,5


O kodel CKE ir CBL panašūs?


Nes [tex]\frac{KC}{BC}=\frac{CE}{CL}=\frac{3}{5}[/tex] ir kampas tarp šių kraštinių abiems trikampiams bendras.

Paskutinį kartą atnaujinta 2012-04-12

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!