ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 11 ***

Olimpiados Peržiūrų skaičius (2433)

Sąlyga.

Išspręskite lygtį
[tex]3^{\log_x3}\cdot x^{\log_3x}=9[/tex]

[spoiler]
Sprendimas.

[tex]3^{\log _x3}*x^{\log _3x}=9[/tex]
[tex]3^{\log _x3*\log _3x}*x^{\log^2 _3x}=9^{\log _3x}[/tex]
[tex]3*x^{\log^2 _3x}=x^2[/tex]
[tex]x^{\log^2 _3x}=\frac{x^2}{3}[/tex]
[tex]\log_x\frac{x^2}{3}=\log^2_3x[/tex]
[tex]\log_x{x^2}-\log_x3=\log^2_3x[/tex]
[tex]2-\log_x3=\log^2_3x[/tex]
[tex]\log^2_3x+\log_x3-2=0[/tex]
[tex]\log^2_3x+\frac{1}{\log_3x}-2=0[/tex]
[tex]t=\log_3x[/tex]
[tex]t^2+\frac{1}{t}-2=0[/tex]
[tex]t^3-2t+1=0[/tex]
[tex]t^3-t-t+1=0[/tex]
[tex]t(t^2-1)-(t-1)=0[/tex]
[tex]t(t+1)(t-1)-(t-1)=0[/tex]
[tex](t-1)(t(t+1)-1)=0[/tex]
[tex](t(t+1)-1)=0[/tex]
[tex]t^2+t-1=0[/tex]
[tex]t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
ir
[tex]t=1[/tex]

kai [tex]t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex]\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}=log_3x[/tex]
[tex]x=3^{\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}}[/tex]

kai [tex]t=1[/tex]

[tex]1=log_3x[/tex]
[tex]x=3[/tex]

Ats.: 3 ir
[tex]3^{\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}}[/tex]


Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys valdas3.
Ačiū Jam!
[/spoiler]

Paskutinį kartą atnaujinta 2012-04-11

0

[tex]3^{\log _x3}*x^{\log _3x}=9[/tex]
[tex]3^{\log _x3*\log _3x}*x^{\log^2 _3x}=9^{\log _3x}[/tex]
[tex]3*x^{\log^2 _3x}=x^2[/tex]
[tex]x^{\log^2 _3x}=\frac{x^2}{3}[/tex]
[tex]\log_x\frac{x^2}{3}=\log^2_3x[/tex]
[tex]\log_x{x^2}-\log_x3=\log^2_3x[/tex]
[tex]2-\log_x3=\log^2_3x[/tex]
[tex]\log^2_3x+\log_x3-2=0[/tex]
[tex]\log^2_3x+\frac{1}{\log_3x}-2=0[/tex]
[tex]t=\log_3x[/tex]
[tex]t^2+\frac{1}{t}-2=0[/tex]
[tex]t^3-2t+1=0[/tex]
[tex]t^3-t-t+1=0[/tex]
[tex]t(t^2-1)-(t-1)=0[/tex]
[tex]t(t+1)(t-1)-(t-1)=0[/tex]
[tex](t-1)(t(t+1)-1)=0[/tex]
[tex](t(t+1)-1)=0[/tex]
[tex]t^2+t-1=0[/tex]
[tex]t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
ir
[tex]t=1[/tex]

kai [tex]kait=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex]\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}=log_3x[/tex]
[tex]x=3^{\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}}[/tex]

kai [tex]t=1[/tex]

[tex]1=log_3x[/tex]
[tex]x=3[/tex]

0

Puikus sprendimas!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!