ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 11.1 **

Olimpiados Peržiūrų skaičius (1981)

Sąlyga.

Išspręskite nelygybę
[tex]\frac{1-\log_4x}{1+\log_2x}\leq \frac{1}{2}[/tex]

[spoiler]
Sprendimas.

[tex]\frac{1-\log_4x}{1+\log_2x}-\frac{1}{2}\leq0[/tex]
[tex]\frac{2-2\log_4x-(1+\log_2x)}{2+2log_2x}\leq0[/tex]
[tex]\frac{2-\log_2x-1-\log_2x}{2+2\log_2x}\leq0[/tex]
[tex]\frac{1-2\log_2x}{2+2\log_2x}\leq0[/tex]
Trupmena neigiama tada , kai jos skaitiklis neigiamas, o vardiklis teigiamas, arba atvirkščiai - skatiklis teigiamas, o vardiklis neigiamas. Pirmas atvejis:
[tex]\begin{cases} 1-2\log_2x\leq0\\2+2\log_2x>0\end{cases}=>\begin{cases} \log_2x\geq\frac{1}{2}\\\log_2x>-1\end{cases}=>\begin{cases} \log_2x\geq \log_2\sqrt2\\\log_2x>\log_2\frac{1}{2}\end{cases}[/tex][tex]=>\begin{cases} x\geq\sqrt2\\x>\frac{1}{2}\\x>0\end{cases}[/tex]
[tex]x\geq \sqrt2[/tex]
Antras atvejis
[tex]\begin{cases} \log_2x\leq \log_2\sqrt2\\\log_2x<\log_2\frac{1}{2}\end{cases}>=\begin{cases} x\leq \sqrt2\\x<\frac{1}{2}\\x>0\end{cases}[/tex]
[tex]0<x<\frac{1}{2}[/tex]
Tad:
[tex]x\in (0;\frac{1}{2})\cup [\sqrt2;\infty )[/tex]

Ats.: [tex]x\in (0;\frac{1}{2})\cup [\sqrt2;\infty )[/tex]


Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys valdas3.
Ačiū Jam!

[/spoiler]

Paskutinį kartą atnaujinta 2012-04-17

0

[tex]\frac{1-\log_4x}{1+\log_2x}-\frac{1}{2}\leq0[/tex]
[tex]\frac{2-2\log_4x-(1+\log_2x)}{2+2log_2x}\leq0[/tex]
[tex]\frac{2-\log_2x-1-\log_2x}{2+2\log_2x}\leq0[/tex]
[tex]\frac{1-2\log_2x}{2+2\log_2x}\leq0[/tex]
Trupmena neigiama tada , kai jos skaitiklis neigiamas, o vardiklis teigiamas, arba atvirkščiai - skatiklis teigiamas, o vardiklis neigiamas. Pirmas atvejis:
[tex]\begin{cases} 1-2\log_2x\leq0\\2+2\log_2x>0\end{cases}=>\begin{cases} \log_2x\geq\frac{1}{2}\\\log_2x>-1\end{cases}=>\begin{cases} \log_2x\geq \log_2\sqrt2\\\log_2x>\log_2\frac{1}{2}\end{cases}[/tex][tex]=>\begin{cases} x\geq\sqrt2\\x>\frac{1}{2}\\x>0\end{cases}[/tex]
[tex]x\geq \sqrt2[/tex]
Antras atvejis
[tex]\begin{cases} \log_2x\leq \log_2\sqrt2\\\log_2x<\log_2\frac{1}{2}\end{cases}>=\begin{cases} x\leq \sqrt2\\x<\frac{1}{2}\\x>0\end{cases}[/tex]
[tex]0<x<\frac{1}{2}[/tex]
Tad:
[tex]x\in (0;\frac{1}{2})\cup [\sqrt2;\infty )[/tex]

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!