Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 12.1 ****

Sąlyga.

Lygiagretainio ABCD įstrižainė AC du kartus ilgesnė už kraštinę CD.
Kraštinėje BC pažymėtas taškas K toks, kad
[tex]\angle ADB = \angle BDK[/tex]
Raskite santykį
[tex]\frac{BK}{KC}[/tex].

[spoiler]

Sprendimas.

Įstrižainės [tex]BD[/tex] vidurio tašką pažymėkim [tex]P[/tex]. Kadangi [tex]BC\parallel AD[/tex], tai [tex]\angle BDA=\angle BDK=\angle KBD[/tex], taigi [tex]BK=KD[/tex] ir [tex]\angle KPB=90^{\circ}[/tex]. Atkarpos [tex]PD[/tex] vidurio tašką pažymėkim [tex]Q[/tex]. [tex]AP=PC=CD[/tex], taigi [tex]\angle CQB=90^{\circ}[/tex].
[tex]\triangle BKP\sim \triangle BCQ\Rightarrow \frac{BC}{BK}=1+\frac{KC}{BK}=\frac{BQ}{BP}=1,5\Rightarrow \frac{KC}{BK}=0,5\Rightarrow \frac{BK}{KC}=2[/tex]

Ats.: BK:KC = 2:1

Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys lukasm.
Ačiū Jam!


[/spoiler]

MilkhaterKą reiškia tas nelygybės ženklas su lankeliu? :D

Įstrižainės [tex]BD[/tex] vidurio tašką pažymėkim [tex]P[/tex]. Kadangi [tex]BC\parallel AD[/tex], tai [tex]\angle BDA=\angle BDK=\angle KBD[/tex], taigi [tex]BK=KD[/tex] ir [tex]\angle KPB=90^{\circ}[/tex]. Atkarpos [tex]PD[/tex] vidurio tašką pažymėkim [tex]Q[/tex]. [tex]AP=PC=CD[/tex], taigi [tex]\angle CQB=90^{\circ}[/tex].
[tex]\triangle BKP\sim \triangle BCQ\Rightarrow \frac{BC}{BK}=1+\frac{KC}{BK}=\frac{BQ}{BP}=1,5\Rightarrow \frac{KC}{BK}=0,5\Rightarrow \frac{BK}{KC}=2[/tex]