Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 13 ***

Sąlyga.

Funkcijų seka
[tex]f_1(x), \quad  f_2(x), \quad \ldots[/tex]
apibrėžta lygybėmis:
[tex]f_1(x)=x[/tex]
ir
[tex]f_{n+1}=\frac{1}{1-f_n(x)}[/tex],
kai n = 1, 2, ... .
Tad kam lygu
[tex]f_{2011}(2011)[/tex]

[spoiler]

Sprendimas.

[tex]f_2(x)=\frac{1}{1-x}\\f_3(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{x-1}{x}\\f_4(x)=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=x[/tex]
ir taip toliau.

Taigi [tex]f_1(x)=f_4(x)=f_7(x)=...=f_{3n-2}(x)\\(n\in\mathbb{N})  \\f_{2011}(2011)=f_{3\cdot671-2}(2011)=f_1(2011)=2011[/tex].

Ats.: 2011

Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys lukasm.
Ačiū Jam!

[/spoiler]

[tex]f_2(x)=\frac{1}{1-x}\\f_3(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{x-1}{x}\\f_4(x)=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=x[/tex]
ir taip toliau.

Taigi [tex]f_1(x)=f_4(x)=f_7(x)=...=f_{3n-2}(x)\\(n\in\mathbb{N})  \\f_{2011}(2011)=f_{3\cdot671-2}(2011)=f_1(2011)=2011[/tex].