Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 16**

Sąlyga.

Įrodykite, kad
[tex]\lg2=\log_32\cdot\log_43\cdot\log_54\cdot\ldots\cdot\log_{10}9[/tex]

[spoiler]

Sprendimas.

[tex]\log_32\cdot\log_43\cdot\log_54\cdot...\cdot\log_{10}9=\frac{\log_42}{\cancel{\log_43}}\cdot\cancel{\log_43}\cdot\frac{\log_64}{\cancel{\log_65}}[/tex] [tex]\cdot\cancel{\log_65}\cdot\frac{\log_86}{\cancel{\log_87}}\cdot\cancel{\log_87}\cdot\[/tex] [tex]\cdot\frac{\log_{10}8}{\cancel{\log_{10}9}}\cdot\cancel{\log_{10}9}=\frac{\log_62}{\cancel{\log_64}}\cdot\cancel{\log_64}\cdot\frac{\log_{10}6}{\cancel{\log_{10}8}}\cdot\cancel{\log_{10}8}=[/tex] [tex]\frac{\lg2}{\cancel{\lg6}}\cdot\cancel{\lg6}}=\lg2[/tex]

Ats.: Įrodyta.

Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys lukasm.
Ačiū Jam!

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[tex]\log_32\cdot\log_43\cdot\log_54\cdot...\cdot\log_{10}9=\frac{\log_42}{\cancel{\log_43}}\cdot\cancel{\log_43}\cdot\frac{\log_64}{\cancel{\log_65}}[/tex] [tex]\cdot\cancel{\log_65}\cdot\frac{\log_86}{\cancel{\log_87}}\cdot\cancel{\log_87}\cdot\[/tex] [tex]\cdot\frac{\log_{10}8}{\cancel{\log_{10}9}}\cdot\cancel{\log_{10}9}=\frac{\log_62}{\cancel{\log_64}}\cdot\cancel{\log_64}\cdot\frac{\log_{10}6}{\cancel{\log_{10}8}}\cdot\cancel{\log_{10}8}=[/tex] [tex]\frac{\lg2}{\cancel{\lg6}}\cdot\cancel{\lg6}}=\lg2[/tex]