ematematikas
Kategorijos +Nauja tema Prisijungti        

Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 16.2***

Olimpiados Peržiūrų skaičius (2108)

Kuris iš dviejų skaičių yra didesnis?

[tex]2^{2^{2^{\cdots^{2}}}}\Bigg\}\text{ pakelta }n \text{ kartu [/tex]

ar
[tex]3^{3^{3^{\cdots^{3}}}}\Bigg\}\text{ pakelta }n-1  \text{ karta?}[/tex]

0

RimanteKuris iš dviejų skaičių yra didesnis?

[tex]2^{2^{2^{\cdots^{2}}}}\Bigg\}\text{ pakelta }n \text{ kartu [/tex]

ar
[tex]3^{3^{3^{\cdots^{3}}}}\Bigg\}\text{ pakelta }n-1  \text{ karta?}[/tex]


Dėl patogumo pažymėkime tuos skaičius [tex]A(n)[/tex] ir [tex]B(n)[/tex] atitinkamai.

Kai [tex]n=1,2[/tex] tai atsakymas elementarus, [tex]2>1[/tex] ir [tex]4>3[/tex], taigi [tex]A(1)>B(1)[/tex] ir [tex]A(2)>B(2)[/tex].

Indukcijos metodu parodome, kad kai [tex]n>2[/tex], tai trejetų laipsnių seka bus didesnė už dvejetų.

Kai [tex]n=3[/tex], nesunku pastebėti, kad [tex]16<27[/tex], taigi [tex]A(3)<B(3)[/tex].

Tarkime nelygybė galioja su [tex]n=k[/tex], kur [tex]k>2[/tex], tai yra [tex]A(k)<B(k)[/tex]. 

Parodome, kad nelygybė galios ir su [tex]n=k+1[/tex].
Pastebime, kad [tex]A(k+1)=2^{A(k)}[/tex] ir [tex]B(k+1)=3^{B(k)}[/tex].

Todėl
[tex]A(k+1)=2^{A(k)}< 3^{A(k)}< 3^{B(k)}=B(k+1)[/tex],
ką ir reikėjo įrodyti.

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!