Pirmas žingsnis. Parodome, kad [tex]a_0 < a_1 < a_2 < ...[/tex] Taip yra dėl indukcijos: akivaizdu, kad [tex]a_0 < a_1[/tex], o jei [tex]a_j < a_{j+1}[/tex], tai [tex]a_{j+2} = \sqrt{a_{j+1} + 1999} > \sqrt{a_j + 1999} = a_{j+1}[/tex]. Taigi [tex]a_0 < a_1 \Rightarrow a_1 < a_2 \Rightarrow a_2 < a_3 \Rightarrow ...[/tex]
Antras žingsnis. Parodome, kad [tex]a_j < 46[/tex] su visais [tex]j \ge 0[/tex]. Vėl naudojame indukciją: akivaizdu, kad [tex]a_0 < 46[/tex], o jei [tex]a_j < 46[/tex], tai [tex]a_{j+1} = \sqrt{a_j + 1999} < \sqrt{2045} < 46[/tex] (nes [tex]46^2 = 2116[/tex]). Taigi [tex]a_0 < 46 \Rightarrow a_1 < 46 \Rightarrow a_2 < 46 \Rightarrow ...[/tex]
Trečias žingsnis. [tex]44 = \sqrt{1936} < a_1 < \sqrt{2025} = 45[/tex], taigi [tex][a_1] = 44[/tex]. Tuomet [tex]a_2 = \sqrt{a_1 + 1999} > \sqrt{2043} > 45[/tex]. Iš pirmo žingsnio žinome, kad su visais [tex]j \ge 2[/tex], [tex]a_j \ge a_2 > 45[/tex]. Iš antro žingsnio žinome, kad taip pat galioja [tex]a_j < 46[/tex]. Taigi [tex][a_j] = 45[/tex], jei [tex]j \ge 2[/tex].
Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys AncientMariner. Ačiū Jam!
[/spoiler]
pakeista prieš 14 m
AncientMariner (+411)
Dėl patogumo pažymėkime [tex]a_0 = 0[/tex].
Pirmas žingsnis. Parodome, kad [tex]a_0 < a_1 < a_2 < ...[/tex] Taip yra dėl indukcijos: akivaizdu, kad [tex]a_0 < a_1[/tex], o jei [tex]a_j < a_{j+1}[/tex], tai [tex]a_{j+2} = \sqrt{a_{j+1} + 1999} > \sqrt{a_j + 1999} = a_{j+1}[/tex]. Taigi [tex]a_0 < a_1 \Rightarrow a_1 < a_2 \Rightarrow a_2 < a_3 \Rightarrow ...[/tex]
Antras žingsnis. Parodome, kad [tex]a_j < 46[/tex] su visais [tex]j \ge 0[/tex]. Vėl naudojame indukciją: akivaizdu, kad [tex]a_0 < 46[/tex], o jei [tex]a_j < 46[/tex], tai [tex]a_{j+1} = \sqrt{a_j + 1999} < \sqrt{2045} < 46[/tex] (nes [tex]46^2 = 2116[/tex]). Taigi [tex]a_0 < 46 \Rightarrow a_1 < 46 \Rightarrow a_2 < 46 \Rightarrow ...[/tex]
Trečias žingsnis. [tex]44 = \sqrt{1936} < a_1 < \sqrt{2025} = 45[/tex], taigi [tex][a_1] = 44[/tex]. Tuomet [tex]a_2 = \sqrt{a_1 + 1999} > \sqrt{2043} > 45[/tex]. Iš pirmo žingsnio žinome, kad su visais [tex]j \ge 2[/tex], [tex]a_j \ge a_2 > 45[/tex]. Iš antro žingsnio žinome, kad taip pat galioja [tex]a_j < 46[/tex]. Taigi [tex][a_j] = 45[/tex], jei [tex]j \ge 2[/tex].
Galėčiau lažintis, kad šis uždavinys buvo panaudotas kokioje nors olimpiadoje 1980 metais. Bus puikus variantas 2025 ir 2070 metų olimpiadoms.
Rimante (+268)
verbunai Galėčiau lažintis, kad šis uždavinys buvo panaudotas kokioje nors olimpiadoje 1980 metais. Bus puikus variantas 2025 ir 2070 metų olimpiadoms.
Kodėl? :)
DEMO +1000
Šitas uždavinys iš LJMM programos, gal kokių 1998 metų
verbunai (+127)
Rimante
verbunai Galėčiau lažintis, kad šis uždavinys buvo panaudotas kokioje nors olimpiadoje 1980 metais. Bus puikus variantas 2025 ir 2070 metų olimpiadoms.
Kodėl? :)
[tex]a_n=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k+\ldots+\sqrt{k}}}}\quad\text{ sveikoji dalis yra lygi }[/tex]
[tex]a_1=[\sqrt{k}]-1,\quad a_j=[\sqrt{k}],\,\, j>1,\,\,\,\,\,\,\quad \text{ kai } k=m(m-1)+1, \ldots, m^2[/tex] [tex]a_j=[\sqrt{k}],\,\, j\geq1,\quad \text{ kai } k=m^2, \ldots, m(m-1),[/tex] kur m yra natūralus skaičius.
[tex]\text{Kai } k=m(m+1), \text{ tai }a_{\infty}=m.[/tex]