Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 17.1***

Raskite
[tex]\Bigg[\Big(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}\Big)^2\Bigg], \quad n\in N.[/tex]

[tex](\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})^{2}=3n+3+\sqrt{4n^{2}+4n}+2\sqrt{n^{2}+2n}+\sqrt{4n^{2}+12n+8}<\\<3n+3+\sqrt{4n^{2}+4n+1}+2\sqrt{n^{2}+2n+1}+\sqrt{4n^{2}+12n+9}=9n+9[/tex].

Įrodykime tris nelygybes:
[tex]n^{2}+n>(n+0,4)^{2}=n^{2}+0,8n+0,16\Rightarrow 0,2n>0,16\Rightarrow n>0,8[/tex], o tai teisinga pagal sąlygą;
[tex]n^{2}+2n>(n+0,7)^{2}>n^{2}+1,4n+0,49\Rightarrow 0,6n>0,49\Rightarrow n>\frac{49}{60}[/tex];
[tex]n^{2}+3n+2>(n+1,4)^{2}=n^{2}+2,8n+1,96\Rightarrow 0,2n>-0,04\Rightarrow n>-0,2[/tex].
[tex](\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})^{2}=3n+3+2\sqrt{n(n+1)}+2\sqrt{n(n+2)}+2\sqrt{(n+1)(n+2)}>9n+8[/tex].
Taigi, [tex]9n+9>(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})^{2}>9n+8[/tex].
Reiškia [tex]\Bigg[(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2})^{2}\Bigg]=9n+8[/tex].

Šaunus sprendimas, puiki idėja nagrinėti nelygybes n² + an + b > (n + c)².

Menkas pastabėjimas dėl rodyklių naudojimo: [tex]A \Rightarrow B[/tex] reiškia, kad jei galioja A, tai galioja ir B. Tavo sprendime būtų tiksliau naudoti [tex]A \Leftarrow B[/tex] arba [tex]A \Leftrightarrow B[/tex].