Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 18.1***

Jeigu skaičių
[tex]\overline{a_0\ a_1\ a_2\ldots a_{n-1}\ a_n}[/tex]
dalijame iš 7, gauname liekaną y.
Kokią liekaną gausime dalydami iš 7 skaičių
[tex]\overline{a_0\ a_1\ a_2\ \ldots a_{n-1}\ a_n}_3[/tex]
užrašytą tais pačiai skaitmenimis, bet jau trejetainėje sistemoje?

[tex]\overline{a_0a_1\ldots a_{n-1}a_n}=a_0\cdot10^{n}+a_1\cdot10^{n-1}+\ldots +a_{n-1}\cdot10^1+a_n\cdot10^{0}\equiv a_0\cdot3^{n}+a_1\cdot3^{n-1}\ldots a_{n-1}\cdot 3^{1}+a_0\cdot 3^{0}\equiv y (mod7)[/tex].
Taigi, skaičius [tex]\overline{a_0a_1\ldots a_{n-1}a_n}_3\equiv y (mod7)[/tex].