Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 19***

Sąlyga.

Viename inde yra 5 kg druskos tirpalo, o kitame - 20 kg kito druskos tirpalo. Garuojant vandeniui, druskos koncentracija pirmame inde padidėja m kartų, o antrame inde - n kartų. Koks vandens kiekis išgaravo iš abiejų indų kartu?
Žinoma, kad
[tex]m\cdot n=9[/tex]

[spoiler]

Sprendimas

Sakykime, kad pirmame inde yra z kg druskos, o iš jo išgaravo x kg vandens,
                      antrajame inde yra t kg druskos, o iš jo išgaravo y kg vandens.
Tuomet:
[tex]\frac{z}{5-x}:\frac{z}{5}=m \qquad \Rightarrow \qquad \frac{5}{5-x}=m \qquad  \Rightarrow \qquad x=5-\frac{5}{m}[/tex]
[tex]\frac{t}{20-y}:\frac{t}{20}=n \qquad \Rightarrow \qquad \frac{20}{20-y}=n \qquad \Rightarrow \qquad y=20-\frac{20}{n}[/tex]

Mums reikia rasti abiejų indų išgaravusio vandens kiekį, tai
[tex]x+y=25-\frac{5}{m}-\frac{20}{n}[/tex]
Sąlygoje duota, kad
[tex]m\cdot n=9 \qquad \Rightarrow \qquad n=\frac{9}{m}[/tex]
tai
[tex]x+y=25-\left(\frac{5}{m}+\frac{20}{9}m\right)[/tex]
Pasinaudokime dviejų skaičių aritmetinio ir geometrinio vidurkio savybe
[tex]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a\cdot b}[/tex]
Tai turime:
[tex]\frac{5}{m}+\frac{20m}{9}\geq 2\sqrt{\frac{5}{m}\cdot\frac{20m}{9}}=\frac{20}{3}[/tex]
todėl
[tex]x+y=25-\left(\frac{5}{m}+\frac{20}{9}m\right)\leq 25-\frac{20}{3}=18\frac{1}{3}[/tex]
Taigi iš abiejų indų kartu negali išgaruoti daugiau kaip
[tex]18\frac{1}{3}[/tex]
kilogramų vandens.
[/spoiler]

Tegul x būna išgaravusio vandens masė iš bet kurio iš indų (iš abiejų išgaruoja tiek pat, ania?), tada sąlyga kad pirmajame koncentracija padidėjo m kartų:
[tex] \frac{1}{5-x}=\frac{m}{5}[/tex]
kad antrąjame padidėjo n kartų:
[tex] \frac{1}{20-x}=\frac{m}{20}[/tex]
abi lygtis sudauginam:
[tex] \frac{1}{(5-x)(20-x)}=\frac{mn}{100}=\frac{9}{100}[/tex]
Pavertus tai į normaliai atrodančią kvadratinę lygtį gaunasi:
[tex] 9x^2 - 9 \cdot 25 x + 800 = 0[/tex]
kurios sprendiniai:
[tex] x_1 = \frac{75 + 5\sqrt{97}}{6} [/tex]
[tex] x_2 = \frac{75 - 5\sqrt{97}}{6} [/tex]
Pirmasis netinka, nes yra didesnis up 5 (tirpalo masė pirmame inde), lieka x_2. Viso išgaruos du kart tiek:
[tex] 2x = \frac{75 - 5\sqrt{97}}{3} [/tex]

O galbūt garavimo sparta nevienoda.

O galbūt ji dar atvirkščiai proporcinga druskos koncentracijai, jei nuo to tik įdomiau. O jei kaip tu sakai, galbūt garavimo sparta nevienoda, man gaunasi kad galimų atsakymo variantų, patenkinančių Rimantės parašytą sąlygą, yra ne vienas. Jei klystu - tai pasiduodu.

house_martin puikiai pastebėjo, kad atsakymas ne vienas.
Reikėtų nurodyti ribą, t.y. kokio kiekio išgaravęs vanduo neviršys.

Taigi iš abiejų indų kartu negali išgaruoti daugiau kaip
[tex]18\frac{1}{3}[/tex]
kilogramų vandens.