Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 20**

Raskite sveikųjų skaičių poras (x;m), tenkinančias lygybę
[tex]|x^2-1|+|x^2-4|=m\cdot x[/tex]

Reiškinių po modulio ženklu šaknys -2, -1, 1, 2. Pažymėkim šiuos skaičius skaičių ašyje, taip padalindami ją į intervalus. Nagrinėkim kiekvieną intervalą atskirai.
1. [tex]x\in(-\infty; -2)\Rightarrow 2x^{2}-mx-5=0[/tex]. [tex]D=m^{2}+40[/tex]. Tam, kad kvadratinė lygtis turėtų sveikų sprendinių, visu pirma jos diskriminantas turi būti sveiko skaičiaus kvadratas, taigi, sprendžiame tokią diofantinę lygtį: [tex]y^{2}-m^{2}=40[/tex]. Abi jos puses išskaidom dauginamaisiais: [tex](y-m)(y+m)=2^{8}\cdot5[/tex].
Du pastebėjimai:
a) Dauginamųjų kairėje pusėje suma lyginė, todėl jie arba abu lyginiai, arba abu nelyginiai. Žiūrint į skaičiaus 40 skaidinį aišku, kad tie dauginamieji abu negali būti nelyginiai.
b) [tex]\sqrt{D}=y\geq 0[/tex]
Taigi, užtenka išspręsti tokias sistemas:
[tex]\begin{cases}{y-m=4\\y+m=10}\end{cases}\Rightarrow (m;y)=(3;7)\Rightarrow x=-1[/tex]
[tex]\begin{cases}{y-m=2\\y+m=20}\end{cases}\Rightarrow (m;y)=(9;11)\Rightarrow x=5[/tex]
[tex]\begin{cases}{y-m=10\\y+m=4}\end{cases}\Rightarrow (m;y)=(-3;7)\Rightarrow x=1[/tex]
[tex]\begin{cases}{y-m=20\\y+m=2}\end{cases}\Rightarrow (m;y)=(-9;11)\Rightarrow x=-5[/tex]
Vienintelis sprendinys, tenkinantis sąlygą [tex]x\in(-\infty; -2)[/tex] yra [tex](x;m)=(-5;-9)[/tex].
2. [tex]x=-2\Rightarrow 3=-2m[/tex] - sveikų sprendinių nėra.
3. [tex]x\in(-2;-1)\Rightarrow 3=mx [/tex]. Lygtį tenkina sveikaskaičiai sprendiniai [tex](x;y)\in \{(3;1);(-3;-1);(1;3);(-1;-3)\}[/tex], tačiau nei vienas netenkina sąlygos [tex]x\in(-2;-1)[/tex].
4. [tex]x=-1\Rightarrow m=-3[/tex]. Dar vienas sprendinys [tex](x;m)=(-1;-3)[/tex].
5. [tex]x\in(-1;1)\Rightarrow 2x^{2}+mx-5=0[/tex]. Jau pirmoje dalyje radom, kad [tex]m=\pm3[/tex] arba [tex]m=\pm9[/tex].
[tex]m=3\Rightarrow x=1\\m=-3\Rightarrow x=-1\\m=9\Rightarrow x=-5\\m=-9\Rightarrow x=5[/tex].
Vėlgi, nė vienas sprendinys netenkina sąlygos [tex]x\in(-1;1)[/tex].
6. [tex]x=1\Rightarrow m=3[/tex]. Dar vienas sprendinys [tex](x;m)=(1;3)[/tex].
7. [tex]x\in(1;2)\Rightarrow mx=3[/tex]. Sprendimas toks pats, kaip ir trečios dalies.
8. [tex]x=2\Rightarrow 2m=3[/tex] - sveikų sprendinių nėra.
9. [tex]x\in(2;\infty)\Rightarrow 2x^{2}-mx-5=0[/tex]. Šios lygties sveikaskaičius sprendinius radom pirmoje dalyje. Iš jų sąlygą [tex]x\in(2;\infty)[/tex] tenkina [tex](x;m)=(5;9)[/tex].
Ats.: [tex](x;m)\in\{(-5;-9);(-1;-3);(1;3);(5;9)\}[/tex].

RimanteRaskite sveikųjų skaičių poras (x;m), tenkinančias lygybę
[tex]|x^2-1|+|x^2-4|=m\cdot x[/tex]