eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 23***


a) Kokia liekana gaunama dalijant skaičių 5556*5557*5558*5559  iš 5?
b) Kaip skambėtų šio uždavinio sąlyga ir sprendimas bendruoju atveju?

a)
[tex]\frac{5556\cdot5557\cdot5558\cdot5559}{5}=\frac{(5555+1)(5555+2)(5555+3)(5555+4)}{5}=[/tex]
[tex]\frac{(5555+1)}{5}(5555+2)(5555+3)(5555+4)=\left(1111+\frac{1}{5}\right)(5555+2)(5555+3)(5555+4)=[/tex]
[tex]1111(5555+2)(5555+3)(5555+4)+\frac{1}{5}(5555+2)(5555+3)(5555+4)[/tex]
Pirmasis sumos narys bus sveikas skaičius, antrąjį galima perrašyti taip:
[tex]\frac{1}{5}(5555+2)(5555+3)(5555+4) =\left(1111+\frac{2}{5}\right)(5555+3)(5555+4)[/tex]
Pakartojus ta patį žingsnį kaip prieš tai dar du kartus, gaunasi, kad jeigu jau liekana yra, tai ji bus tokia pati kaip ir šitokios dalybos:
[tex]\frac{2\cdot3\cdot4}{5}=\frac{24}{5}[/tex]
Liekana yra skaicius 4 :)
b)
Atsiprašau, bet ka reiškia bendruoju atveju? :) Ar taip:
[tex]\frac{(1000x+100x+10x+x+1)(1000x+100x+10x+x+2)(1000x+100x+10x+x+3)(1000x+100x+10x+x+4)}{x}[/tex]
kur x - kažkuris skaičius nuo 1 iki 9?
Jeigu taip, tai sprendimo būdas identiškas, finale gaunasi kad liekana yra tokia pati kaip ir dalybos:
[tex]\frac{2\cdot3\cdot4}{x}[/tex]
Šioje vietoje nieko geresnio apart lentelės nesugalvojau:
x    liekana
1  0
2  0
3  0
4  0
5  4
6  0
7  3
8  0
9  6

pakeista prieš 11 m

Bendrouju atveju, manyčiau, turėtų būti taip:
kokią liekaną gausim skaičių [tex](\overline{xxxx}+1)\cdot({\overline{xxxx}+2)\cdot\ldots\cdot(\overline{xxxx}+x-1)[/tex] dalindami iš [tex]x[/tex], kai [tex]x[/tex] - pirminis.
[tex](\overline{xxxx}+1)\cdot({\overline{xxxx}+2)\cdot\ldots\cdot(\overline{xxxx}+x-1)\equiv(x-1)!\equiv-1 \pmod x[/tex], pagal Vilsono teoremą.
Sunku pasakyti, ką uždavinio autorius turėjo galvoj, bet jei x - ne būtinai pirminis, tai gaunasi nevienareiškmiškas atsakymas.

pakeista prieš 11 m

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »