Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 4 **

Sąlyga.

Kas daugiau:
[tex]\frac{10^{1977}+1}{10^{1978}+1} \quad ar \quad \frac{10^{1978}+1}{10^{1979}+1}?[/tex]

[spoiler]
Sprendimas.

Jei a>b,  tai a-b>0
[tex]\frac{10^{1977}+1}{10^{1978}+1}-\frac{10^{1978}+1}{10^{1979}+1}[/tex]

[tex]=\frac{(10^{1977}+1)(10^{1978}+1)-(10^{1978}+1)^2}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}[/tex]

[tex]=\frac{\cancel{10^{3956}}+10^{1977}+10^{1979}+\cancel{1}-\cancel{10^{3956}}-2\cdot10^{1978}-\cancel{1}}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}[/tex]

[tex]=\frac{10^{1977}+100\cdot10^{1977}-20\cdot10^{1977}}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}[/tex]

[tex]=\frac{81\cdot10^{1977}}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}>0[/tex]

Vadinasi pirmasis skaičius didesnis.

Ats.: [tex]\frac{10^{1977}+1}{10^{1978}+1} > \frac{10^{1978}+1}{10^{1979}+1}?[/tex]


Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys Taksas027.
Ačiū Jam!
[/spoiler]

Daugiau yra kairioji pusė. :)
nežinau, ar taip galima taip daryt, bet aš vietoj tų didelių laipsnių pasirašiau mažesnius laipsnius ir skaičiavau. x)
dar kilo viena mintis.. jeigu vietoj tų didelių laipsnių įsivestume kokį pasižymėjimą? :)

JaunasMokslininkasDaugiau yra kairioji pusė. :)
nežinau, ar taip galima taip daryt, bet aš vietoj tų didelių laipsnių pasirašiau mažesnius laipsnius ir skaičiavau. x)
dar kilo viena mintis.. jeigu vietoj tų didelių laipsnių įsivestume kokį pasižymėjimą? :)

Užuomina vyresniems: Jei [tex]a\leq b[/tex] ir [tex]$c>0$[/tex], tai funkcija

                                                  [tex]x\rightarrow f(x)=\frac{ax+c}{bx+c}[/tex]

mažėja.

a>b jei a-b>0
[tex]\frac{10^{1977}+1}{10^{1978}+1}-\frac{10^{1978}+1}{10^{1979}+1}[/tex]

[tex]=\frac{(10^{1977}+1)(10^{1978}+1)-(10^{1978}+1)^2}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}[/tex]

[tex]=\frac{\cancel{10^{3956}}+10^{1977}+10^{1979}+\cancel{1}-\cancel{10^{3956}}-2\cdot10^{1978}-\cancel{1}}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}[/tex]

[tex]=\frac{10^{1977}+100\cdot10^{1977}-20\cdot10^{1977}}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}[/tex]

[tex]=\frac{81\cdot10^{1977}}{(10^{1978}+1)(10^{1979}+1)}>0[/tex]

reiškias pirmas didesnis

Atimant trupmenas reikia jas subendravardiklinti. Nors man isvis neaisku kas cia per kosmosas :D

valkirijaAtimant trupmenas reikia jas subendravardiklinti. Nors man isvis neaisku kas cia per kosmosas :D

aj jo :D tiek daug visko, mirguliuoja sunku suvalgyt. dbr supratau kaip cia isvedei :)

Kadangi daugiau pilnų sprendimų neparodė niekas, tad Taksas027 sprendimą priimsime kaip vienintelį ir nebeginčijamą (nors, jei labai yra norinčių, prašom, nesivaržykit).
:)