Matematikos olimpiadinis uždavinys Nr. 9 **

Sąlyga.

Įrodykite, kad daugianaris
[tex]P(x)=x^4+2x^3+5x^2+4x+4[/tex]
yra kurio nors kvadratinio trinario kvadratas ir raskite tą kvadratinį trinarį.

[spoiler]
Sprendimas.

Ieškomas kvadratinis trinaris: ax² + bx + c
Pagal sąlygą: P(x) = (ax² + bx + c)² = a²x^4 + 2abx³ + (2ac + b)x² + 2bcx + c²
Taigi:
x^4 + 2x³ + 5x² + 4x + 4 =  a²x^4 + 2abx³ + (2ac + b)x² + 2bcx + c²
Sudarom sistemą:
{1 = a²
{2 = 2ab
{5 = 2ac + b²
{4 = 2bc
{4 = c²

Kai a = 1, b = 1, c = 2
Kai a = -1 , b = -1, c = -2

ax² + bx + c =  ±(x² + x + 2)

Ats.: ±(x² + x + 2)

Šį sprendimą mums pasiūlė mūsų forumo narys Milkhater.
Ačiū Jam!
[/spoiler]

Mūsų svetainės facebook profilyje šio uždavinio sprendimas buvo pateiktas štai toks:

x^4+2x^3+5x^2+4x+4=x^2(x^2+2x+1-1)+5x^2+4(x+1)=x^2((x+1)^2-1)+5x^2+4(x+1)=x^2(x+1)^2-x^2+5x^2+4(x+1)=x^2(x+1)^2+4x^2+4(x+1)=x^2(x+1)^2+4(x^2+x+1)=x^2(x+1)^2+4(x+1)^2=(x+1)^2(x^2+4)=(x+1)^2 * (x+2)^2 = ((x+1)(x+2))^2=((x+1,5-0,5)(x+1,5+0,5))^2=((x+1,5)^2-0,5^2)^2=(x^2+3x+2,25-0,25)^2=(x^2+3x-2)^2

Palikau originalo šriftą, bet jei ką sudomins, manau tikrai išsišifruosite.

(x+1)^2(x^2+4)=(x+1)^2 * (x+2)^2
Čia klaida :)

Puiku, tikrinam tikrinam :)
Tik klausimas - čia uždavinio sprendimo klaida, ar tiesiog korektūros klaida?
Nes manau, jog tokiu būdu sprendžiant prie atsakymo prieiti turėtų būti irgi įmanoma, na bent jau logikos yra.

valdas3(x+1)^2(x^2+4)=(x+1)^2 * (x+2)^2
Čia klaida :)

Dar prieš tai viena klaidelė pražiopsojau
x^2(x+1)^2+4(x^2+x+1)=x^2(x+1)^2+4(x+1)^2
4(x^2+x+1) ≠ 4(x+1)^2
:)
Na o užduotį gal ir galima taip išspręst, bet aš sprendžiant pasirinkčiau Milkhater būdą :) .

Aha, aš taip pat už Milhater sprendimą, todėl net ir nekyla rankos išbandyti šį.
Nors akivaizdu, kad tikriausiai būsiu priversta :)

valdas3Dar prieš tai viena klaidelė pražiopsojau
x^2(x+1)^2+4(x^2+x+1)=x^2(x+1)^2+4(x+1)^2
4(x^2+x+1) ≠ 4(x+1)^2
:)
Na o užduotį gal ir galima taip išspręst, bet aš sprendžiant pasirinkčiau Milkhater būdą :) .