Sokolovas PRO +1024
20. Duota funkcija: [tex]f(x)=2sinxcos2x.[/tex]
20.1 Apskaičiuokite [tex]f{}(\frac{5\pi }{6})[/tex] (1 taškas)
20.2 Apskaičiuokite [tex]f{}'(\pi )[/tex] (2 taškai)
20.3 Išspręskite lygtį
[tex]f(x)=0[/tex]
intervale [tex][0; \pi ][/tex] (3 taškai)
21 Išspręskite lygtį
[tex]\sqrt{x+1}+1=\frac{x}{2}[/tex] (3 taškai)
22. Stačiosios keturkampės prizmės pagrindas-rombas. Šio rombo įstrižainių ilgiai lygūs 12 bei 8.
Prizmės šoninio paviršiaus plotas lygus [tex]12\sqrt{13}[/tex]
Apskaičiuokite šios prizmės tūrį. (3 taškai)
23. Funkcijos [tex]f(x)=2\sqrt{x}[/tex] grafiko taške A nubrėžta liestinė su Ox ašimi sudaro
[tex]45^{0}[/tex] didumo kampą.
23.1 Įrodykite, kad lietimosi taško A koordinatės A(1, 2). (2 taškai)
23.2 Parašykite šios liestinės lygtį. (2 taškai)
23.3 Apskaičiuokite plotą figūros, kurią riboja funkcijos [tex]f(x)=2\sqrt{x}[/tex]
grafikas, jo taške A(1, 2) nubrėžta liestinė, ir Ox ašis. (3 taškai)
24. Yra 8 litrai 40 procentų koncentracijos rūgšties tirpalo, t.y. tirpalo, kurio 40 procentų tūrio sudaro rūgštis.
Į šį tirpalą buvo įpilta dar 2 litrai 20 procentų koncentracijos tos pačios rūgšties tirpalo.
24.1 Parodykite, kad gauto mišinio koncentracija tapo lygi 36 procentams. (2 taškai)
24.2 Keliais procentais padidėjo tirpalo (mišinio) tūris, kai buvo įpilta papildomo tirpalo ?
(1 taškas)
24.2 Kiek gryno vandens reikėtų įpilti į gautą 10 litrų 36 proc. koncentracijos mišinį, kad rūgšties procentas jame sumažėtų nuo 36 proc. iki 20 proc.? (2 taškai)
25 ABCD-trapecija, jos pagrindų AD ir BC ilgių santykis lygus 2, t.y.
AD=2BC.
M-trapecijos šoninės kraštinės CD vidurio taškas.
Trapecijos įstrižainėje BD pasirinktas taškas E taip, kad
BE: ED= 3 : 2
Duoti vektoriai [tex]\vec{a}=\vec{AB}[/tex], [tex]\vec{b}=\vec{BC}[/tex]
25.1 Įrodykite, jog
[tex]\vec{AM}=\frac{1}{2}\vec{a}+ \frac{3}{2}\vec{b}[/tex] (2 taškai)
25.2 Išreikškite vektorių [tex]\vec{BE}[/tex] vektoriais [tex]\vec{a}[/tex] ir [tex]\vec{b}[/tex] (2 taškai)
25.3 Įrodykite, jog taškai A, E, ir M yra vienoje tiesėje. (2 taškai)
25.4 Trikampio AMD plotas lygus 16. Apskaičiuokite trapecijos ABCD plotą (2 taškai).
26. Raskite tokią LYGINĘ funkciją [tex]g(x)[/tex], kad funkcija
[tex]f(x)=2^{x}g(x)-x^{2}[/tex]
būtų NELYGINĖ. (3 taškai)
27. ABCDE-taisyklingasis penkiakampis. Jo įstrižainės sudaro figūrą, žinomą pentagramos pavadinimu.
Taisyklingojo penkiakampio įstrižainės BD ir BE kerta įstrižainę AC atitinkamai taškuose N ir M.
Atkarpos MN ilgis lygus [tex]\sqrt{5}[/tex]
Apskaičiuokite šio taisyklingojo penkiakampio kraštinės ilgį. (3 taškai).