Matematikos valstybinis brandos egzaminas 2022

Ne viskas gerai.

26. Gatvę apšviečia dvylika šviestuvų – šeši iš jų viena eile stovi kairėje gatvės pusėje, o kiti šeši viena eile stovi dešinėje gatvės pusėje.
26.2. Taupant elektros energiją, nuspręsta abiejose gatvės pusėse iš viso išjungti penkis šviestuvus. Kiek yra galimybių pasirinkti šiuos penkis šviestuvus taip, kad jokie du išjungti šviestuvai, esantys toje pačioje gatvės pusėje, nebūtų gretimi?

26.2 sprendimas:
Įjungtą šviestuvą žymėkime - 1.
Pirmiausiai, ką turime išsiaiškinti, jog vienoje gatvės pusėje neįmanoma turėti daugiau kaip 3 neįjungtų šviestuvų, jog jokie du nebūtų šalia. Tai reiškia, jog vienoje gatvės pusėje turėtų būti 3 išjungti, o kitoje - 2.
[tex]\bullet[/tex] Nagrinėkime atvejį, kai vienoje gatvės pusėje yra 3 išjungti šviestuvai. Vadinasi šviečiančių taip pat yra 3:
_1_1_1_
Šita schema žymi tris šviečiančias lempas ir 4 tarpelius, kuriuose galėtų atsirasti 3 išjungtos lempos. Tam variantų yra: [tex]C_4^3=4[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Nagrinėkime atvejį, kai vienoje gatvės pusėje yra 2 išjungti šviestuvai. Vadinasi šviečiančių  yra 4:
_1_1_1_1_
Ši ta schema žymi keturias šviečiančias lempas ir 5 tarpelius, kuriuose galėtų atsirasti 2 išjungtos lempos. Tam variantų yra: [tex]C_5^2=10[/tex].
[tex]\bullet[/tex] Vadinasi variantų, jog vienoje gatvės pusėje nešviestų 3 lempos, o kitoje - 2 ir nei viena jų nebūtų greta, yra: [tex]4\cdot 10=40[/tex]
[tex]\bullet[/tex] Kadangi dar galima ta pati situacija tik atvirkščiai: t.y. pirmoje gatvės pusėje nešviečia 2, o kitoje - 3, tai viso variantų yra: [tex]40\cdot 2=80[/tex]

27. Įmonė turi naujos ir senos kartos lazerių. Naujos kartos lazerio per vieną valandą išpjautų detalių skaičius yra sveikasis ir didesnis už 8. Senos kartos lazeris per vieną valandą išpjauna keturiomis detalėmis mažiau negu naujos kartos lazeris. Tam tikrą gautą užsakymą įmonė vienu naujos kartos lazeriu gali atlikti per sveikąjį valandų skaičių, o trimis senos kartos lazeriais – dviem valandomis greičiau. Kiek daugiausia detalių gali sudaryti šį užsakymą?

27 sprendimas:
Tarkime naujas lazeris išpjauna [tex]x[/tex] detalių per valandą. Čia [tex]x[/tex] - sveikasis skaičius didesnis už 8.
Tada senas lazeris išpjauna [tex]x-4[/tex] detalių per valandą.
Tarkime užsakymą sudaro [tex]y[/tex] detalių.
Tada naujas lazeris užsakymą įvykdytų per [tex]\dfrac{y}{x}[/tex] valandų, o 3 senieji per [tex]\dfrac{y}{3(x-4)}[/tex] valandų.
Pagal sąlygąą sudarome lygtį:
[tex]\dfrac{y}{3(x-4)}-\dfrac{y}{x}=2[/tex]
Ją per tvarkius gauname:
[tex]\dfrac{y}{x}=\dfrac{3(x-4)}{x-6}[/tex], o remiantis sąlyga šis reiškinys turi įgyti teigiamą sveikąją reikšmę.
Kadangi [tex]\dfrac{3(x-4)}{x-6}=3+\dfrac{6}{x-6}[/tex] iš čia matome, jog šis reiškinys įgis sveikąją teigiamą reikšmę, kai [tex]x∈\{7,8,9,12\}[/tex].
Kadangi [tex]x>8[/tex], tai tinkamų reikšmių aibė sumažėja iki: [tex]x∈\{9,12\}[/tex]
Kai [tex]x=9[/tex], tai: [tex]y=\dfrac{3x(x-4)}{x-6}=\dfrac{3\cdot 9\cdot (9-4)}{9-6}=45[/tex]
Kai [tex]x=12[/tex], tai: [tex]y=\dfrac{3x(x-4)}{x-6}=\dfrac{3\cdot 12\cdot (12-4)}{12-6}=48[/tex]
Išrenkame didžiausią reikšmę ir gauname atsakymą 48.