Tomas (+4567)
1. [tex]\{6;8;12\}[/tex]
2. [tex]\alpha=450^\circ[/tex]
3. [tex]k=2[/tex]
4. 3 sprendinius
5. [tex]x∈(-3;+\infty)[/tex]
6. [tex] \tan^2\alpha=48[/tex]
7. [tex]x=-3[/tex]
8. [tex]x=4[/tex]
9. Galimi atsakymo variantai: [tex]A_1B_1, \space A_1D_1,\space AB,\space AD.[/tex]
10. 95
11.
[tex]y=\sqrt{3,75+2,5}-3=\sqrt{6,25}-3=2,5-3=-0,5≠0,5[/tex]. Nepriklauso.
12.1.
[tex]3^{5x+2}>(3^3)^{x-6}\implies 3^{5x+2}>3^{3x-18}\implies 5x+2>3x-18\implies 2x>-20\implies\\ x>-10\implies x∈(-10;+\infty)[/tex]
12.2.
[tex]\dfrac{3-x}{9+x}<0[/tex]
[tex]3-x=0;[/tex] [tex]9+x≠0[/tex]
[tex]x=3;[/tex] [tex]x≠-9[/tex]
[tex]-:[/tex] [tex](-\infty;-9), \space (3;+\infty)[/tex]
[tex]+:[/tex] [tex](-9;3)[/tex]
[tex]x∈(-\infty;-9)∪(3;+\infty)[/tex]
13.1.
[tex]4\cdot \log_2(\frac{15}{3})=4\log_2 5=\log_2 5^4=\log_2 625[/tex]
13.2.
[tex](2^2)^{\frac{1}{6}}+(2^3)^{\frac{1}{9}}=2^\frac{1}{3}+2^\frac{1}{3}=2\cdot 2^\frac{1}{
3}=2^\frac{4}{3}[/tex]
14.1.
[tex]S_{\textrm{šon.}}=\pi rl=\pi\cdot 5\cdot 13=65\pi[/tex]
14.2.
[tex]SO^2=SA^2-AO^2=13^2-5^2=144\implies SO=\sqrt{144}=12[/tex]
14.3.
[tex]S_{\textrm{ASB}}=\dfrac{AB\cdot SO}{2}=\dfrac{10\cdot 12}{2}=60[/tex]
14.4.
[tex]V_{\textrm{kūgio}}=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 5^2\cdot 12=100\pi[/tex]
[tex]V_{\textrm{rutulio}}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot R^3[/tex]
[tex]\dfrac{4}{3}\pi\cdot R^3=100\pi\implies R^3=75\implies R=\sqrt[3]{75}[/tex]
15.1.
[tex]AD=x[/tex], [tex]AB=2x[/tex], [tex]AA_1=36-3x[/tex]
[tex]V(x)=x\cdot 2x\cdot (36-3x)=2x^2(36-3x)=72x^2-6x^3[/tex]
15.2.
[tex]V'(x)=72\cdot 2x-6\cdot 3x^2=144x-18x^2[/tex]
15.3.
[tex]144x-18x^2=0\implies x(144-18x)=0\implies x=0 \textrm{ (netinka), }x=8[/tex]
Kai [tex]x∈(0;8):\space V'(x)>0[/tex]
Kai [tex]x∈(8;12):\space V'(x)<0[/tex]
$\underset{x∈(0;12)}{\max}V(x)=V(8)$
15.4.
[tex]V(8)=72\cdot 8^2-6\cdot 8^3=1536 \textrm{ (cm}^2)[/tex]
16.1.
[tex]f(x)=\cos^2 x-2\cos x-\cos x\cdot \cos x=\cos^2 x-2\cos x-\cos^2 x=-2\cos x[/tex]
16.2.
[tex]-2\cos x=-1|:(-2)\implies \cos x=\frac{1}{2}\implies x=±\arccos(\frac{1}{2})+360^\circ\cdot k\implies \\x=±60^\circ+360^\circ\cdot k,\space k∈\mathbb{Z}[/tex]
Kai [tex]x∈[0^\circ;360^\circ][/tex], tai [tex]x=60^\circ,\space x=300^\circ.[/tex]
17.1.1.
[tex]P(\overline{G})=1-P(G)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}[/tex]
17.1.2.
[tex]P(M)=2\cdot P(R)\\P(M)+P(R)=\frac{6}{7}\\2\cdot P(R)+P(R)=\frac{6}{7}\\3P(R)=\frac{6}{7}\\P(R)=\frac{2}{7}[/tex]
17.1.3.
Tarkime [tex]g-[/tex]pirmoje dėžėje esančių geltonų kamuoliukų skaičius,
[tex]m-[/tex]pirmoje dėžėje esančių mėlynų kamuoliukų skaičius,
[tex]r-[/tex]pirmoje dėžėje esančių raudonų kamuoliukų skaičius
Kadangi [tex]P(G):P(M):P(R)=\frac{1}{7}:\frac{4}{7}:\frac{2}{7}=1:4:2[/tex], tai [tex]g:m:r=1:4:2\implies[/tex]
[tex]m=4g,\space r=2g[/tex]
Antroje dėžėje geltonų kamuoliukų - [tex]g+14[/tex], mėlynų - [tex]4g[/tex], raudonų - [tex]2g[/tex].
[tex]P(\textrm{"traukiant iš antros dėžės ištrauktas kamuoliukas yra geltonas}")=\frac{1}{3}\implies \\\frac{g+14}{g+14+2g+4g}=\frac{1}{3}\implies \frac{g+14}{14+7g}=\frac{1}{3}\implies 3g+42=14+7g\implies 4g=28\implies g=7[/tex]
Kai [tex]g=7[/tex], tai antroje dėžėje mėlynų kamuoliukų yra: [tex]4\cdot 7=28[/tex], o raudonų yra: [tex]2\cdot 7=14[/tex]
Mėlynų ir raudonų kamuoliukų skaičių suma: [tex]28+14=42[/tex]
17.2.
[tex]G'-[/tex]"iš trečios dėžės ištrauktas geltonas kamuoliukas",
[tex]M'-[/tex]"iš trečios dėžės ištrauktas mėlynas kamuoliukas".
[tex]A-[/tex]"iš trečios dėžės traukiant du kamuoliukus, ištraukti geltonos ir mėlynos spalvos kamuoliukai"
[tex]P(A)=P(G')\cdot P(M')\cdot 2=\frac{5}{14}\cdot \frac{2}{13}\cdot 2=\frac{10}{91}[/tex]
18.
[tex]b_1=125,\space b_3=180[/tex]
[tex]b_3=b_1\cdot q^2\implies q^2=\frac{180}{125}=1,44\implies q=1,2\space (q>0)[/tex]
[tex]b_4=b_3q=180\cdot 1,2=216[/tex]
19.
[tex]f'(x)=(x^{-1})'=-1x^{-2}[/tex]
[tex]k=f'(2)=-2^{-2}=-\frac{1}{4}[/tex]
20.
[tex]S_\textrm{pagr.}=12^2=144[/tex]
[tex]S_\textrm{šon.}=384-144=240[/tex]
[tex]S_\textrm{SDC}=\frac{240}{4}=60[/tex]
[tex]\frac{CD\cdot SM}{2}=60\implies \frac{12\cdot SM}{2}=60\implies SM=10[/tex]
[tex]OM=AD:2=12:2=6[/tex]
[tex]SO=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8[/tex]
[tex]\sin\alpha=\frac{SO}{SM}=\frac{8}{10}=0,8[/tex]