Matematikos VBE 2020 m. pakartotinės sesijos funkcijų grafikų ribojamo ploto skaičiavimo uždavinys

Paveiksle pavaizduoti funkcijų [tex]f(x)=-x^2+b[/tex] ir [tex]g(x)=x^3-x^2-ax+b[/tex] grafikų eskizai; čia a, b – realieji skaičiai, a > 0. Įrodykite, kad šiais grafikais apribotos figūros P plotas yra lygus [tex]\dfrac{a^2}{4}[/tex], kai [tex]x≥0[/tex]. (5 taškai)

[tex]f(x)=-x^2+b[/tex]
[tex]g(x)=x^3-x^2-ax+b[/tex]
[tex]-x^2+b=x^3-x^2-ax+b[/tex]
[tex]x^3-ax=0[/tex]
[tex]x(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0[/tex]
[tex]x=0;[/tex] [tex]x=\sqrt{a};[/tex] [tex]x=-\sqrt{a}[/tex]
[tex]P=\int_{0}^{\sqrt{a}}(-x^2+b-(x^3-x^2-ax+b))dx=\int_{0}^{\sqrt{a}}(ax-x^3)dx=\frac{a(\sqrt{a})^2}{2}-\frac{(\sqrt{a})^4}{4}-0=\frac{a^2}{4}[/tex]