Matematikos VBE 2020 m. pakartotinės sesijos tikimybių teorijos uždavinys

Ant seifo durelių yra dešimt mygtukų. Ant kiekvieno iš jų užrašyta po viena skaitmenį nuo 0
iki 9. Visi užrašyti skaitmenys yra skirtingi. Seifas atrakinamas surinkus devynženklį kodą,
paeiliui spaudžiant mygtukus. Yra žinoma, kad tarp kodo skaitmenų nėra nė vieno nulio, bet
yra du penketai ir trys ketvertai. Apskaičiuokite tikimybę atspėti kodą pirmu bandymu.
(4 taškai)

Renkamas devynženklis kodas. Penketui dvi vietos iš devynių, trejetui trys vietos iš likusių septynių, o į likusias keturias vietas po 7 galimybės. Taigi gauname 1/3025260.

Sprendimas:
Kadangi žinome, jog seifo kodas sudarytas iš 2 penketų ir 3 ketvertų, pirmiausiai raskime keliais būdais jie gali užimti 5 iš 9 skaičių sekos, iš kurios sudarytas kodas, pozicijas:
Penketai gali užimti sekos pozicijas: [tex]C_9^2[/tex] būdais, tuo tarpu ketvertai - [tex]C_7^3[/tex].
Likusias 4 pozicijas užimti gali septyni skaitmenys: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9. Taigi jas užpildyti yra [tex]7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=7^4[/tex] būdų.
Taigi galiausiai gauname viso [tex]C_9^2\cdot C_7^3\cdot 7^4[/tex] galimų kodo variantų.
Kadangi kodą pataikyti galime tik iš vieno karto, tikimybė tai padaryti yra:
[tex]\dfrac{1}{C_9^2\cdot C_7^3\cdot 7^4}=\dfrac{1}{3025260}.[/tex]