Kai [tex] n=2[/tex], nelygybė akivaizdžiai teisinga. Darykim, prielaidą, kad nelygybė teisinga, kai [tex] n=k[/tex]: [tex]1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{k^2}<2-\frac{1}{k}[/tex]. Parodysim, kad ji teisinga ir tuo atveju, kai[tex] n=k+1[/tex]: [tex]1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}<2-\frac{1}{k+1}[/tex]. Tuo tikslu tereikia įrodyti, kad [tex]\frac{1}{(k+1)^2}<2-\frac{1}{k+1} - (2-\frac{1}{k})=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}\Rightarrow k(k+1)<(k+1)^2[/tex]. Ši nelygybė akivaizdžiai teisinga su visais natūriniais skaičiais.
valdas3 (+1276)
[tex]\frac{1}{(k+1)^2}<2- \frac{1}{k+1} - (2-\frac{1}{k})[/tex] Ar tu gavai šią nelygybę atėmęs pirmąją nelygybę iš antrosios? Ar galima tą daryti nežinant ar antroji nelygybė iš tikro yra teisinga? Ir ar iš vis galima atimti dvi tokio "tipo" nelygybes? Pvz. jei atimtume tokias nelygybes viena iš kitos: 2<4 4<5 gautume, kad 2<1.
DEMO +1000
Nelygybių panariui atimti galbūt ir negalima, nes dėl minuso keičiasi nelygybės ženklas, tačiau akivaizdu: jei pavyksta įrodyti nelygybę [tex]\frac{1}{(k+1)^2}<2 - \frac{1}{k+1} - (2-\frac{1}{k})[/tex], tai ją sudėję su nelygybe kai n=k, kuri, pagal indukcinę prielaidą, yra teisinga, gauname būtent tai, ko reikia. Tai paprasta matematinės indukcijos esmė.