Matematine analize,apie sekas,2 uzdaviniai

1Įrodykite, kad jei seka turi baigtinę ribą, tai visada egzistuoja toks baigtinis skaičius K, kad visi sekos elementai xn tenkina nelygybę xn < K.
2.Ar įmanoma, kad seka {xn} turėtų dvi skirtingas ribas, kai n → ∞? Jei ne, tai įrodykite, o jei taip, tai pateikite pavyzdį.

o pats kaip galvoji?

namiokinu:
jei seka konverguoja, tai ji aprėžta. sekos apibrėžimą prisimink.

kokią seką matei su dviem ribom? vadinasi įrodai, kad vieną ribą teturi.

tai kad ši seka neturi ribos. ji turi du konverguojančius posekius.

bus taip, kad reiks įrodyt, jog seka turi tik vieną ribą.

nu nemanau, kad čia reik pabrėžt jog konverguojanti, nes kaip ir nekonverguojanti aplamai ribos neturi, ką jau kalbėt apie dvi. taip kad viskas gerai.

jei būtų paraašyta ar turi dvi skirtingas dalines ribas, tada tavo pvz tinka.

galiu ir įrodyt:

Prieštaros būdu. Tarkime, kad seka {x_n} turi dvi ribas x ir y, kur sakykime x<y.
Pasirenkame [tex]\varepsilon := \frac{y-x}{2}>0[/tex]

Remiantis ribos apibrėžimu:
[tex]\exists N_{1}\epsilon \mathbb{N}:\left | x_{n}-x \right |<\varepsilon ,kai- n>N_{1}[/tex]
ir
[tex]\exists N_{2}\epsilon \mathbb{N}:\left | x_{n}-y \right |<\varepsilon ,kai- n>N_{2}[/tex]

pažymime [tex]N= max\left | N_{1},N_{2} \right |\epsilon \mathbb{N}[/tex]
tada  [tex]| x_{n}-x |<\varepsilon[/tex] ir  [tex]| x_{n}-y |<\varepsilon[/tex] kai [tex]n>N[/tex]
[tex]y-x= \left | \left ( y-x_{n} \right )+\left ( x_{n}-x \right ) \right |\leq \left |y-x_{n} \right |+\left | x_{n}-x \right |< \varepsilon +\varepsilon = 2\varepsilon = y-x[/tex]
prieštara