matematines indukcijos princupu irodyti nelygybe

(su kiekvienu n, kuris priklauso N,n>1) 1+1/2+1/3+...+1/2pakelta n laipsniu -1>n/2.

Matematinės indukcijos principas yra toks. Sakykime, turime kažkokią savybę P(n). Paprasčiau sakant, turi kažkokį teiginį "bla bla bla galioja su tam tikru n". Yra du žingsniai:

1) parodome, jog P(m) galioja su kažkokiu konkrečiu sveikuoju skaičiumi m;
2) parodome, kad jei P(n) galioja su kažkokiu sveikuoju skaičiumi n (n ≥ m), tai galioja ir P(n+1).

Jei įvykdome abu šiuos žingsnius, tai P(n) galioja su visais sveikaisiais skaičiais n ≥ m.

Taip abstrakčiai aprašytas principas gal ir atrodo painiai, bet toks nėra. Jo idėją iliustruoja toks kvailokas pavyzdys: nagrinėkime teiginį "sutvarkysiu kambarį iki n-tosios dienos". Kadangi esu tinginys, žinau, jog jei jau nesutvarkysiu kambario iki, tarkime, antradienio, tai nesutvarkysiu ir iki trečiadienio. Tiksliau, jei nesutvarkysiu kambario iki kažkurios n-tosios dienos, tai nesutvarkysiu ir iki (n+1)-osios. Šiandien kambario netvarkysiu. Indukcijos principas sako, kad kambario nesutvarkysiu niekada.

Spręskime uždavinį. Mūsų teiginys yra "1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^n - 1 > n/2".

1. Kai n = 2, tai 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 - 1 = 1 + 1/12 > 1, taigi teiginys galioja (pirmas žingsnis įrodytas).

2. Antras žingsnis dažniausiai būna sunkesnis. Tarkime, kad teiginys galioja su kažkokiu n ≥ 2, taigi 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^n - 1 > n/2. Mes norime įrodyti, kad teiginys galioja ir su n + 1. Tam reikia įrodyti, kad 1 + 1/2 + ... + 1/2^(n+1) - 1 > (n+1)/2. Bet 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^(n + 1) - 1 = (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2^n - 1) + 1/(2^n + 1) + 1/(2^n + 2) + ... + 1/2^(n + 1) > n/2 + 1/(2^n + 1) + 1/(2^n + 2) + ... + 1/2^(n+1), taigi mums telieka parodyti, kad 1/(2^n + 1) + 1/(2^n + 2) + ... + 1/2^(n+1) ≥ 1/2. Ir iš tiesų 1/(2^n + 1) + 1/(2^n + 2) + ... + 1/2^(n+1) > 1/2^(n+1) + 1/2^(n+1) + ... + 1/2^(n+1) = 2^n * (1/2^(n+1)) = 1/2, taigi antras žingsnis įrodytas.

Indukcijos principas parodo, kad teiginys teisingas su visais natūraliais n ≥ 2.