Duoti trys [tex]skirtingi[/tex] taškai [tex]A\left ( 0;1 \right ) ; B\left ( x;x^{3}+1 \right ) ; C\left ( 3;13 \right ) [/tex] Su kuriomis x reikšmėmis ([tex]x> -2[/tex])[tex],[/tex] vektorių [tex]\vec{AB}[/tex] ir [tex]\vec{BC}[/tex] ilgių sumos [tex]|\vec{AB}|[/tex][tex]+|\vec{BC}|[/tex] skaitinė reikšmė yra [tex]mažiausia[/tex]
pakeista prieš 1 m
MykolasD PRO +2545
Tomas PRO +4543
Duoti trys [tex]skirtingi[/tex] taškai [tex]A(0;1);B(x;x^3+1);C(3;13)[/tex] Su kuriomis x reikšmėmis [tex](x>−2)[/tex], vektorių [tex]\vec{AB}[/tex] ir [tex]\vec{BC}[/tex] ilgių sumos [tex]|\vec{AB}|+|\vec{BC}|[/tex] skaitinė reikšmė yra [tex]mažiausia[/tex]
Vektoriams [tex]\vec{AB},\space \vec{BC},\space \vec{AC}[/tex] galioja nelygybė [tex]|\vec{AB}|+|\vec{BC}|≥|\vec{AC}|[/tex]. Iš jos gauname, kad mažiausia [tex]|\vec{AB}|+|\vec{BC}|[/tex] reikšmė bus [tex]|\vec{AB}|+|\vec{BC}|=|\vec{AC}|[/tex], o pastaroji lygybė teisinga tada ir tik tada, kai [tex]\vec{AB}\upuparrows\vec{BC}.[/tex] [tex]\vec{AB}=\{x-0;x^3+1-1\}=\{x;x^3\}[/tex] [tex]\vec{BC}=\{3-x;13-(x^3+1)\}=\{3-x;12-x^3\}[/tex] Jei [tex]\vec{AB}\upuparrows\vec{BC}[/tex], tai: [tex]\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{x^3}{12-x^3}>0\implies 12x-x^4=3x^3-x^4\implies 12x-3x^3=0\implies 3x(4-x^2)=0\implies 3x=0\textrm{ arba }4-x^2=0\implies x=0\textrm{ arba }x=±2[/tex]. Kai [tex]x>-2[/tex], tai [tex]x∈\{0;2\}[/tex]. Kai [tex]x=0[/tex], tai: [tex]\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{0}{3-0}=0\textrm{ (netinka)}[/tex] Kai [tex]x=2[/tex], tai: [tex]\dfrac{x}{3-x}=\dfrac{2}{3-2}=2>0\textrm{ (tinka)}[/tex] Ats.: 2