Mažiausias keturkampio plotas, kai žinomi trikampių plotai.

Keturkampio ABCD  įstrižainės  AC  ir  BD  susikerta  taške O  SΔBOC=4  SΔAOD=9 ,tada  mažiausias  keturkampio ABCD plotas yra  :    A) 21    B)25    C)26    D)31

Tegu [tex]\alpha[/tex]-smailusis kampas tarp įstrižainių, tada ([tex]\sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha)[/tex]):
[tex]S_{ΔAOD}=\dfrac{1}{2}\cdot OD\cdot OA\cdot \sin\alpha=9\implies OD\cdot OA\cdot \sin\alpha=18[/tex]
[tex]S_{ΔBOC}=\dfrac{1}{2}\cdot OB\cdot OC\cdot \sin\alpha=4\implies OB\cdot OC\cdot \sin\alpha=8[/tex]
[tex]S_{ΔBOA}=\dfrac{1}{2}\cdot OB\cdot OA\cdot \sin\alpha,\space S_{ΔCOD}=\dfrac{1}{2}\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\alpha[/tex]
Pažymime [tex]S_{ΔBOA}=x,\space S_{ΔCOD}=y[/tex], tada:
[tex]OB\cdot OA\cdot \sin\alpha=2x,\space OC\cdot OD\cdot \sin\alpha=2y[/tex]
[tex]OB\cdot OA\cdot \sin\alpha\cdot OC\cdot OD\cdot \sin\alpha=2x\cdot 2y[/tex]
[tex]OD\cdot OA\cdot \sin\alpha\cdot OB\cdot OC\cdot \sin\alpha=18\cdot 8[/tex]
[tex]4xy=144\implies xy=36\implies y=\dfrac{36}{x}[/tex]
Tada keturkampio ploto funkcija:
[tex]S(x)=4+9+x+\dfrac{36}{x}\implies S(x)=13+x+\dfrac{36}{x},\space x>0[/tex]
[tex]S'(x)=1-\dfrac{36}{x^2}\implies 1-\dfrac{36}{x^2}=0\implies x=6,\space (x>0)[/tex]
Intervale [tex](0;6):\space S'(x)<0[/tex]; intervale [tex](6;+\infty):\space S'(x)>0[/tex], vadinasi [tex]x=6[/tex] - minimumo taškas ir čia funkcija įgyja mažiausią savo reikšmę nagrinėjamoje apibrėžimo srityje.
Tada: [tex]S(6)=13+6+\dfrac{36}{6}=13+6+6=25[/tex]
Atsakymas: 25