Mergaičių olimpiada. Šiauliai. 7, 8, 9, 10 klasės užduotys

9. 8-os klasės mokiniai parašė matematikos testą. Jei kiekvienas berniukas būtų gavęs 3 balais daugiau, tai klasės pažymių vidurkis būtų didesnis 1,2 balo. Kurią klasės dalį (procentais) sudaro mergaitės?
10. Iš skaičiukų miesto į Raidžiukų miestą vienas priešais kitą važiuoja kurjeriai. Jų greičiai skirtingi. Po susitikimo vienam liko važiuoti 16 val., kitam - 9 valandas. Kiek laiko kelionėje užtrunka vienas ir kitas kurjeris?

Tarkime viso mokinių yra [tex]x[/tex].
Tada mergaičių yra [tex]xk[/tex], o berniukų [tex](1-k)x[/tex], kur k - skaičius iš intervalo (0;1).
Tegu mergaičių balų suma yra [tex]S_{m}[/tex], o berniukų: [tex]S_{b}[/tex].
Tada klasės pažymių vidurkis lygus:
[tex]\dfrac{S_{m}+S_{b}}{x}[/tex]

Jei kiekvienas berniukas būtų gavęs 3 balais daugiau, tada berniukų balų suma būtų lygi: [tex]S_{b}+3(1-k)x[/tex]
Tada visų mokinių balų vidurkis būtų buvęs:
[tex]\dfrac{S_{m}+S_{b}+3(1-k)x}{x}[/tex]

Pagal sąlygą šis vidurkis yra 1,2 balo didesnis nei jis yra iš tiesų, vadinasi galime užrašyti:
[tex]\dfrac{S_{m}+S_{b}+3(1-k)x}{x}=1,2+\dfrac{S_{m}+S_{b}}{x}[/tex]
Sutvarkome šią gautą lygybę:
[tex]S_{m}+S_{b}+3(1-k)x=1,2x+S_{m}+S_{b}[/tex]
[tex]3(1-k)x=1,2x[/tex]
[tex]1-k=0,4[/tex]
[tex]k=0,6[/tex]

Vadinasi mergaičių yra: [tex]xk=0,6x[/tex]
Procentais tai sudaro:
[tex]\frac{0,6x}{x}\cdot 100[/tex]% = 60%
Ats.: 60%

Tarkime pirmojo greitis [tex]v_{1}[/tex], o antrasis [tex]v_{2}[/tex].
Iki sustikimo pirmasis nuvažiavo [tex]S_{1}[/tex], o antrasis [tex]S_{2}[/tex].
Tada galime užrašyti:
[tex]\dfrac{S_{1}}{v_{1}}=\dfrac{S_{2}}{v_{2}}[/tex]
Po susitikimo pirmam liko važiuoti [tex]S_{2}[/tex] atstumą, o antram [tex]S_{1}[/tex].
Tuomet pirmasis likusį atstumą nuvažiavo per 16 val, o antrasis per 9 val, vadinasi:
[tex]\dfrac{S_{2}}{v_{1}}=16[/tex]  ir  [tex]\dfrac{S_{1}}{v_{2}}=9[/tex]
Iš čia gauname:
[tex]S_{1}=9v_{2}[/tex]
[tex]S_{2}=16v_{1}[/tex]
Grįžtame prie pačios pirmos lygybės ir įsistatę tai, ką išsireiškėme, gauname:
[tex]\dfrac{9v_{2}}{v_{1}}=\dfrac{16v_{1}}{v_{2}}[/tex]
Iš čia:
[tex](\dfrac{v_{2}}{v_{1}})^{2}=\dfrac{16}{9}[/tex]
[tex]\dfrac{v_{2}}{v_{1}}=\dfrac{4}{3}[/tex]
Pirmasis iš viso važiavo laiko:
[tex]\dfrac{S_{1}+S_{2}}{v_{1}}=\dfrac{9v_{2}+16v_{1}}{v_{1}}=9\cdot \dfrac{v_{2}}{v_{1}}+16=9\cdot \dfrac{4}{3}+16=28[/tex] (val)
Antrasis iš viso važiavo laiko:
[tex]\dfrac{S_{1}+S_{2}}{v_{2}}=\dfrac{9v_{2}+16v_{1}}{v_{2}}=9+16\cdot \dfrac{v_{1}}{v_{2}}=9+16\cdot \dfrac{3}{4}=21[/tex] (val)

Ats.: 28 val, 21 val.