eMatematikas
Pradžia Forumai + Nauja tema Nariai
Įrankiai
Formulės Testai Egzaminai
Prisijungti Registruotis
       

Natūraliųjų skaičių kvadratų suma

Įrodykite, kad bet kurių dviejų nelyginių natūraliųjų skaičių kvadratų suma negali būti sveikojo skaičiaus kvadratas.

Paskutinį kartą atnaujinta 2016-11-15

0

Panagrinėkim sveikojo skaičiaus kvadrato dalybos iš 4 liekanas. Jei skaičius yra pavidalo 4k arba 4k+2, tai jo kvadratas akivaizdžiai dalinasi iš 4 . Jei skaičius yra pavidalo 4k±1, tai [math](4k±1)^2=16k^2±8k+1[/math] dalindami iš 4 gausime liekaną 1. Taigi, dalinant sveikojo skaičiaus kvadratą iš keturių, gausime liekaną 0 arba 1.
Iš uždavinio sąlygos turime [math](2m+1)^2+(2n+1)^2=4(m^2+n^2)+4(m+n)+2[/math]. Nesunku pastebėti, kad pastarajį reiškinį dalindami iš 4, gausime liekana 2. Taigi, dviejų nelyginių skaičių kvadratų suma negali būti sveikojo skaičiaus kvadratu.

Paskutinį kartą atnaujinta 2016-11-15

2

dėkui

0

Įrodykite, kad iš eilės einančių penkių skaičių kvadratų suma negali būti sveikojo skaičiaus kvadratas.

Paskutinį kartą atnaujinta 2019-01-02

0

Remdamasis aukščiau išspręsto uždavinio idėjomis, įsirodyk, jog [tex]a^2[/tex] dalijamas iš 5 duoda tik liekanas 0, 1 arba 4, o pačią pirmąją tik tada, kai [tex]a[/tex] dalus iš 5.
Toliau užrašykime tuos penkis skaičius (kaip suprantu sveikuosius), taip: $$n-2,\space n-1,\space n,\space n+1,\space n+2,\space n∈\mathbb {Z} $$ Jų kvadratų suma lygi: $$(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5(n^2+2)$$ Kaip matyti ji dali iš 5. Tarkime ši suma lygi sveikojo skaičiaus kvadratui, tada tas sveikasis skaičius pagal jau įsirodytą teiginį taip pat turi būti dalus iš 5, todėl rašome: $$5(n^2+2)=(5k)^2,\space k∈\mathbb {Z} \\5(n^2+2)=25k^2\\n^2+2=5k^2\\n^2=5k^2-2=5(k^2-1)+3$$ Matyti, jog gavome, kad [tex]n^2[/tex], kuris yra [tex]n[/tex] kvadratas, dalijamas iš 5 turi duoti liekaną 3, bet mes žinome, jog galimos tik liekanos 0, 1, ir 4, taigi gauname prieštaravimą. Reiškia ši suma nėra lygi sveikojo skaičiaus kvadratui. Įrodyta!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!