eMatematikas.lt
Forumas
Įrankiai Formulynas Testai Egzaminai
Prisijungti        
« PradžiaSkaičiavimai1337

Natūraliųjų skaičių kvadratų suma


Įrodykite, kad bet kurių dviejų nelyginių natūraliųjų skaičių kvadratų suma negali būti sveikojo skaičiaus kvadratas.

Paskutinį kartą atnaujinta 2016-11-15

0

Panagrinėkim sveikojo skaičiaus kvadrato dalybos iš 4 liekanas. Jei skaičius yra pavidalo 4k arba 4k+2, tai jo kvadratas akivaizdžiai dalinasi iš 4 . Jei skaičius yra pavidalo 4k±1, tai [math](4k±1)^2=16k^2±8k+1[/math] dalindami iš 4 gausime liekaną 1. Taigi, dalinant sveikojo skaičiaus kvadratą iš keturių, gausime liekaną 0 arba 1.
Iš uždavinio sąlygos turime [math](2m+1)^2+(2n+1)^2=4(m^2+n^2)+4(m+n)+2[/math]. Nesunku pastebėti, kad pastarajį reiškinį dalindami iš 4, gausime liekana 2. Taigi, dviejų nelyginių skaičių kvadratų suma negali būti sveikojo skaičiaus kvadratu.

Paskutinį kartą atnaujinta 2016-11-15

2

dėkui

0

Įrodykite, kad iš eilės einančių penkių skaičių kvadratų suma negali būti sveikojo skaičiaus kvadratas.

Paskutinį kartą atnaujinta 2019-01-02

0

Remdamasis aukščiau išspręsto uždavinio idėjomis, įsirodyk, jog [tex]a^2[/tex] dalijamas iš 5 duoda tik liekanas 0, 1 arba 4, o pačią pirmąją tik tada, kai [tex]a[/tex] dalus iš 5.
Toliau užrašykime tuos penkis skaičius (kaip suprantu sveikuosius), taip: $$n-2,\space n-1,\space n,\space n+1,\space n+2,\space n∈\mathbb {Z} $$ Jų kvadratų suma lygi: $$(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5(n^2+2)$$ Kaip matyti ji dali iš 5. Tarkime ši suma lygi sveikojo skaičiaus kvadratui, tada tas sveikasis skaičius pagal jau įsirodytą teiginį taip pat turi būti dalus iš 5, todėl rašome: $$5(n^2+2)=(5k)^2,\space k∈\mathbb {Z} \\5(n^2+2)=25k^2\\n^2+2=5k^2\\n^2=5k^2-2=5(k^2-1)+3$$ Matyti, jog gavome, kad [tex]n^2[/tex], kuris yra [tex]n[/tex] kvadratas, dalijamas iš 5 turi duoti liekaną 3, bet mes žinome, jog galimos tik liekanos 0, 1, ir 4, taigi gauname prieštaravimą. Reiškia ši suma nėra lygi sveikojo skaičiaus kvadratui. Įrodyta!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!